Przykład:

Rozwiąż równanie |x²-4|+|3-x|-2=0,

Musimy zrobić rysunek pomocniczy by wiedzieć w jakich przedziałach będziemy rozpatrywać nasze równanie, w jednym z rozdziałów na temat funkcji liniowej, posługiwaliśmy się tą samą metodą:

Pierwszy przedział (-∞,-2>, patrzymy jakie wartości przyjmują funkcje w tym przedziale, dzięki ustalamy jak będzie wyglądało równanie:

1. x (-∞,-2>

x²-4+3-x-2=0

x²-x-3=0, teraz rozwiązujemy równanie:

∆=1+12

X₁=    x₂, Więc w tym przedziale równanie nie ma rozwiązania:

Drugi przedział:

x (-2,2>

-x²+4+3-x-2=0

-x²-x+5=0

∆=21

x₃=      x₄, Więc tylko x₃należy do rozwiązania tego równania.

Trzeci przedział

x(2,3>

w tym przedziale dostaniemy takie same rozwiązania co w pierwszym, więc

 będzie rozwiązaniem tego równania:

Czwarty przedział:

x (3,+∞)

x²-4-3+x-2=0

x²+x-9=0

∆=37

x₅=    x₆2,54

Czyli rozwiązaniami tego równania są liczby : ,

Przykład 2:

Rozwiąż nierówność:  (3x-2)²-3|3x-2|-5≤0

Możemy to rozwiązać jak poprzednie równanie ale można zauważyć że:

w²=|w|², Wiec mamy:

|3x-2|²-3|3x-2|-5≤0, za |3x-2| podstawiamy zmienną pomocniczą t:

t²-3t-5≤0, i rozwiązujemy zwykłą nierówność:

∆=29

t₁=    t₂=, więc mamy że:

t <, >, teraz będziemy mieli 2 równania:

|3x-2|≥    i      |3x-2|≤, rozwiązujemy oba równania

|3x-2|≥:

3x-2≥                                                               3x-2≤      

3x≥                                                               3x≤        

3x≥,                                                                   x≤

x≥                                                                           

Czyli x (Pamiętaj że pomiędzy nimi jest spójnik, który oznacza lub (sumę przedziałów)

|3x-2|≤:

3x-2≤                                                                          3x-2≥

3x≤                                                                              3x≥

x≤                                                                                  x≥ 

 x<>,

Teraz musimy wyznaczyć część wspólną tych dwóch przedziałów, czyli uwzględniamy tylko ten drugi, ponieważ pierwszy to R.

Opd: x<>,

Zadania do zrobienia

1. Rozwiąż równania:

a) ²

b) ²

Odp.      a) x ∈ {-1, 0, 1}; wskazówka: podstaw

               b) ; wskazówka: podstaw

 2. Rozwiąż równanie:

²

Odp. równanie sprzeczne; wskazówka: podstaw

3. Rozwiąż równanie:

^{2 2}

Odp.

4. Rozwiąż nierówność:

²

Odp.

5. Rozwiąż algebraicznie i graficznie nierówności:

a)

b)

Odp.      a)

               b)