Przykład:

Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru m:

|x²-2x-3|=m

Najłatwiej będzie tu zastosować metodę graficzną, polega ona na narysowaniu wykresu funkcji: y=|x²-2x-3|

Teraz, uproszczając, traktujemy nasze m jako y, więc mamy:

Jeżeli m (-∞,0) ma 0 rozwiązań,

Jeżeli m=0, to ma 2 rozwiązania,

Jeżeli m(0,4), ma 4 rozwiązania,

Jeżeli m=4, ma 3 rozwiązania,

Jeżeli m(4,+ ∞) ma 2 rozwiązania.

Przykład: Dla jakich wartości parametru m równanie –x²+(m-3)|x|=0,25(m²-1) nie ma rozwiązań.

Na początek przerzućmy wszystko na jedną stronę:

–x²+(m-3)|x|-0,25(m²-1)=0,

Korzystamy ze zmiennej pomocniczej t=|x|, więc mamy

-t²+(m-3)t-0,25(m²-1)=0, pamiętając że t>0,

Teraz musimy się zastanowić kiedy to równanie nie będzie miało rozwiązań?

Na pewno gdy ∆<0, wynika z twierdzenia o miejscach zerowych.

Jeżeli ∆=0, to aby równanie pierwotne nie miało rozwiązań to t₀<0,

A jeżeli ∆>0, to aby równanie pierwotne nie miało rozwiązań, dwa rozwiązania

-t²+(m-3)t-0,25(m²-1)=0 muszą być ujemne, tutaj skorzystamy ze wzorów Viete’a, by otrzymać kolejne warunki:

t₁+t₂<0

t₁*t₂>0, suma dwóch liczb ujemnych jest ujemna, ale iloczyn takich liczb będzie dodatni.

Mamy 3 przypadki, każdy obliczamy z osobna a potem sumujemy przedziały rozwiązań tego zadania:

Pierwszy przypadek:

∆<0:

∆=(m-3)²-4*(-1)*((-0,25)(m²-1)

∆=m²-6m+9-m²+1

∆=-6m+10, teraz obliczamy nasz warunek:

-6m+10<0

-6m<-10

m>, pierwszy przypadek obliczony.

Drugi przypadek:

∆=0

t₀<0

Deltę mamy już obliczoną, przyrównujemy ją do zera:

-6m+10=0

m=

t₀<0:

, teraz część wspólną, czyli mamy że drugi przypadek jest spełniony jeżeli m=

Trzeci przypadek:

∆>0

, t₁+t₂<0

t₁*t₂>0

Deltę już mamy więc ∆>0 jeżeli  m<,

t₁+t₂=

m-3<0

m<3

t₁*t₂=0,25(m²-1)

0,25(m²-1)>0

m²-1>0

m²>1

m>1                  lub               m<-1

Wyznaczając część wspólną mamy że trzeci warunek jest spełniony jeżeli

m (-∞,-1)  (1,),

Teraz sumujemy to co mamy:

m>

m=

m (-∞,-1)  (1,), Wyznaczając sumę tych przedziałów formujemy odpowiedź:

Równanie nie ma rozwiązań jeżeli m (-∞,-1)  (1, +∞).

Zadania do zrobienia

1. Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru m (m  R):

a) ²

b) ²

Odp.      a) brak rozwiązań dla ; dwa rozwiązania dla ; trzy rozwiązania dla ; cztery rozwiązania dla

               b) brak rozwiązań dla ; dwa rozwiązania dla ; trzy rozwiązania dla , cztery rozwiązania dla

2. Dla jakich wartości parametru m równanie x^{2 2}  ma dwa różne rozwiązania?

Odp.

3. Dla jakich wartości parametru równanie ²  ma tyle samo rozwiązań dodatnich co ujemnych?

Odp.

4. Dla jakich wartości parametru równanie ^{2 2}  nie ma rozwiązań?

Odp.