Do rozwiązywania zadań dowodowych z zastosowaniem ułamków algebraicznych bardzo często wykorzystuje się nierówności pomiędzy średnimi (tzw. Nierówność Cauchy’ego) :

Śr. Kwadratowa ≥ śr. Arytmetyczna ≥ śr. Geometryczna ≥ śr. Harmoniczna

 Definicja:   ≥  ≥  ≥ 

Przykład 1

Wykaż, że dla dowolnych liczb a,b  spełniona jest nierówność:   +  ≥ 2

Dowód:

Założenie: a,b – liczby rzeczywiste
Teza:  +  ≥ 2
Dowód: zakładając, że teza jest prawdziwa mnożymy równanie przez , otrzymując:  +  ≥ 2, przerzucamy wszystko na lewą stronę uzyskując:
+  - 2 ≥ 0, zauważamy, że jest to wzór skróconego mnożenia i otrzymujemy  ≥ 0, czyli wyrażenie  nieujemne dla każdej liczby rzeczywistej, co kończy dowód.

Przykład 2

Wykaż, że dla dodatnich liczb a,b,c  spełniona jest nierówność:   +  +  ≥ 1

Dowód:

Założenie: a,b,c – liczby dodatnie
Teza:   +  +  ≥ 1
Dowód: (zakładamy, że teza jest prawdziwa)
1)  +  +  ≥ 

2)  +  +  +2 ≥ 3 / : 3

3)   +  ≥ 1

4) Zauważmy, że  ≥  i  = 1, więc:

5)  + ≥ 1, a zatem także )  +    ≥ 1 c.k.d.

Przykład 3

Wykaż, że dla dodatnich liczb a,b  spełniona jest nierówność:  ≤ 

 ≤  / * 2

a + b  ≤  (podnosimy do kwadratu, możemy bo obydwie strony są ≥0 )

+ 2ab ≤

- 2ab ≥ 0

 ≥ 0 c.k.d.

 Przykład 4

Wykaż, że dla dodatnich liczb a,b ,c spełniona jest nierówność:   ≤ 

Dowód: (zakładamy, że teza jest prawdziwa)

  ≤  (podnosimy do kwadratu, możemy bo obydwie strony są ≥0 )

 +  + 2ab +2bc + 2ac ≤  

2ab +  -2bc + +  - 2ac ≥ 0

 ≥ 0 c.k.d.

Zadania do zrobienia

1. Wiadomo, że a > 0 i b < 0 i 3 = 3 + 8ab. Wykaż, że  = 11.

Odp. wskazówka: rozwiąż równanie 3 - 8ab - 3 = 0 ze względu na zmienną b. Ponieważ z założenia a > 0 i b < 0, więc b =

2. Wykaż, że jeśli a, b  R - {0} i a  -2b i 6ab - 3 = 2 - ab, to  =  lub  = .

Odp. wskazówka: zauważ, że 6ab - 3 = 2 - ab jest równoważne wyrażeniu 3a(ab - a) = b(2b - a), czyli (2b - a)(3a - b) = 0. Stąd a = 2b lub a =

3. Wykaż, że jeśli liczby a i b są nieujemne, to   ².