Definicja: Funkcję F(x)= , gdzie , są wielomianami i ≠0, nazywamy funkcją wymierną. Dziedziną

funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych liczb x, które są pierwiastkami wielomianu czyli D= R- {x: = 0}.

Pamiętajmy, że  jest liczbą, czyli wielomianem stopnia 0, to dane wyrażanie jest wielomianem np. F(x) =   jest wielomianem. Każdy wielomian jest funkcją wymierną, gdyż można go przedstawić w postaci 2 wielomianów np.

F(x)= 4x-3=  

Przykład 1

Wyznacz wartość współczynnika n we wzorze funkcji  i wzór funkcji F(x) =  jeśli dla argumentu 1 funkcja przyjmuje wartość 2.

Rozwiązanie:

Określamy dziedzinę funkcji: F(x) =  =  ≠ 0 → x≠5

Podstawiamy do wzoru funkcji 1: F(1)=  = 2 →  = 2 → a= -32

Wzór funkcji: F(x)=

Przykład 2

Wyznacz zbiór wartości funkcji G(x)=  

Rozwiązanie:

Dziedzina:  ≠ 0 →  → D: x∈ R

Szukamy zbioru wartości funkcji G, czyli zbioru tych elementów y należących do przeciwdziedziny, dla których istnieją takie argumenty x w dziedzinie funkcji, że y jest wartością funkcji G dla pewnego x, czyli:

y=  /* (

y( x

y

Dla y=0
x=0, zatem istnieje argument należący do dziedziny funkcji, że G(x)=0
Dla y≠0 otrzymujemy równanie kwadratowe y
Aby równanie kwadratowe miało rozwiązanie ∆≥0

∆≥0 ↔ 1-4≥0 → y∈<, > - {0} (Dziedzina)

Otrzymujemy: [ (y∈<, > - {0} ) ٧ y=0 ] → y∈<, >

Odp. Zbiór wartości funkcji f to przedział: y∈<, >

Zadania do zrobienia

1. Czy podana funkcja jest funkcją wymierną?

F(x) = x³ - 3x² + 18

Odp. tak

2. Wyznacz dziedzinę funkcji wymiernej określonej wzorem:

W(x) =

Odp. R - {0, 2, 3}

3. Funkcja H(x) =  dla argumentu 1 przyjmuje wartość 3.

Wyznacz:

a) wartość parametru a

b) miejsca zerowe funkcji H

c) zbiór tych argumentów, dla których funkcja H przyjmuje wartości nieujemne.

Odp.      a) a = -3

              b) -3, -2, 3

               c) x      (9, +)

4. Wyznacz zbiór wartości funkcji wymiernej W, jeśli W(x) =

Odp. ZW =