Zadanie 1

Oblicz współczynniki a,m,n funkcji f(x)=  przedstawionej na rysunku wiedząc, że do wykresu funkcji należy punkt H(2,2).

Rozwiązanie:

Przekształcamy wykres funkcji do postaci kanonicznej:

f(x)=  = ==  + n

Zauważamy, że asymtoty na rysunku to: y=1 i x=-2, czyli a=1 i n=-2→ f(x)=

Jeśli punkt H(2,2) należy do wykresu funkcji to f(2)=2 → f(2)=  = 2 → m= -6

Odp. a=1,n=-2,m=-6

Zadanie 2

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, gdy funkcja , gdzie m≠x, jest rosnąca w przedziale (m,+∞).

Założenie, -2= -4 → m≠√2

Zauważmy, że wykres funkcji f(x)= +2m powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji g(x)= o wektor u= [m,2m], z własności funkcji  wynika, iż jest ona rosnąca w każdym z przedziałów (-∞,0)  (0,+∞) dla a<0, więc f(x) jest rosnąca w przedziałach (-∞,m)  (m,+∞) gdy  < 0 → m∈ (-√2,√2)

 [m∈ (-√2,√2) ٨ (m≠√2 ٨ m≠-√2) ] → m∈ (-√2,√2)

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie: ׀  ׀=  -1 ma 2 rozwiązania.

Rozwiązanie tego zadania polega na narysowaniu funkcji f(x)= , nałożeniu na niej modułu, otrzymaniu wykresu funkcji g(x)= :

 

Wykres f(x): [A(,0)]

Wykres g(x): 

Z wykresu otrzymujemy, że funkcja g(x) ma 2 rozwiązania, gdy:  -1>0 ٨  -1≠  
Po rozwiązaniu obydwu równań otrzymujemy odpowiedź, że:
a∈(-∞,-) ٧ (-,-1)٧(1, ) ٧ (, +∞)