Tak samo jak w planimetrii, punktem wyjścia do rozważań w stereometrii są aksjomaty. Określają one własności tzw. pojęć pierwotnych (płaszczyzn, punktów, prostych).

Przykłady aksjomatów:

A1: W przestrzeni istnieje co najmniej jedna płaszczyzna. Dla każdej płaszczyzny istnieje co najmniej jeden punkt, który do niej nie należy.
A2: Przez trzy punkty nieleżące na jednej prostej przechodzi tylko jedna płaszczyzna.
A3: Jeśli dwie różne płaszczyzny mają punkt wspólny, to mają wspólną prostą.
A4: Jeśli dwa różne punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to cała prosta leży na płaszczyźnie.

Płaszczyzny oznacza się  , Jeśli punkty X,Y,Z nie leżą na 1 prostej to płaszczyzna XYZ oznacza płaszczyznę przechodzącą przez punkty X,Y,Z.

Wzajemne położenie płaszczyzn:

Płaszczyzny nie mają punktów wspólnych, czyli: ∩= ∅

Płaszczyzny mają punkt wspólny czyli zgodnie z aksjomatem A3 mają wspólną prostą, czyli: ∩= k

Dwie płaszczyzny, których częścią wspólną jest prosta, nazywamy płaszczyznami przecinającymi się, a ich wspólna prosta to krawędź przecięcia.

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny:
Prosta i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych, czyli: ∩= ∅

Prosta i płaszczyzna mają 1 punkt wspólny(mówimy, że prosta przebija płaszczyznę), czyli: ∩= {A}

Prosta ma 2 punkty wspólne z płaszczyzną, a zatem wszystkie punkty prostej są wspólne z płaszczyzną (mówimy wtedy, że prosta leży na płaszczyźnie), czyli:  ⊂

Wzajemne położenie 2 prostych w przestrzeni:
Jeśli nie istnieje płaszczyzna zawierająca dwie dane proste, wówczas proste takie nazywamy prostymi skośnymi.

Jeśli istnieje płaszczyzna zawierająca dwie dane proste, wówczas mamy 3 możliwości:
1. proste przecinają się, czyli mają tylko jeden punkt wspólny:  

2. proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych:

3. proste są równoległe i się pokrywają:

Przykład 1

Rozwiązanie: HG i AB: proste równoległe, AE i AD: proste przecinające się, BC i HD: proste skośne, HF i BD: proste równoległe.

Twierdzenia:

Dowodzenie Tw1:

Założenie: dane są proste k, l i płaszczyzna  k ǁ l (l ⊂ )

Teza: l ǁ π

Dowód: Załóżmy, że prosta k nie leży w płaszczyźnie  (w przeciwnym wypadku teza jest oczywista) . Wówczas wystarczy pokazać, że k∩=Ø. 0. Rozważmy płaszczyznę wyznaczoną przez proste k i l. Ta płaszczyzna przecina płaszczyznę . Krawędzią przecięcia jest prosta l. Gdyby prosta k przecinała płaszczyznę , to punkt przecięcia leżałby na krawędzi l (ponieważ k ⊂  i  ∩   = l). Ale to jest niemożliwe, bo z założenia k ǁ l. Zatem k∩=Ø, co znaczy, że prosta k jest równoległa do płaszczyzny .

Rysunek:

Dowodzenie Tw1:

Założenie: dane są proste k, l, które przecinają się w punkcie O; niech ponadto punkt A będzie dowolnym punktem prostej k (różnym od punktu O), punkt B - dowolnym punktem prostej I (różnym od punktu O)

Teza: proste k, I wyznaczają tylko jedną płaszczyznę

Dowód: Z założenia wynika, że punkty A,O,B nie leżą na jednej prostej, a zatem przechodzi przez nie płaszczyzna (oznaczamy ją ). Punkty A,O leżą na płaszczyźnie  a zatem prosta l leży na płaszczyźnie . Analogicznie prosta l leży na płaszczyźnie . Płaszczyzna  jest jedyną płaszczyzną, w której leżą proste k,l. Jakakolwiek inna płaszczyzna zawierająca punkty A,O,B należałaby do płaszczyzny

Rysunek:

Zastosowanie tego twierdzenia pokazuje przykład 2

Przykład 2

Rozwiązanie: Aby udowodnić, że ten czworokąt jest równoległobokiem należy udowodnić, że boki XY i ZQ oraz XQ i YZ są do siebie równoległe i mają względem siebie jednakową długość.

Z tw. 5 wynika, że XY ǁ QZ (bo XY ǁ AC ٨ QZ ǁ AC), analogicznie XQ ǁ YZ (bo YZ ǁ SB ٨ XQ ǁ SB).

Z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków ǀXYǀ= ǀQZǀ= 0,5 ǀACǀ i analogicznie ǀXQǀ= ǀYZǀ= 0,5 ǀSBǀ

Udowodniliśmy że boki XY i ZQ oraz XQ i YZ są do siebie równoległe i mają względem siebie jednakową długość, tak więc czworokąt XYZQ jest równoległobokiem, c.k.d.

Dowód Tw.6:

Założenie: ٨ ٨ ∩= l

Teza: k ǁ l

Dowód: Proste k, I nie mogą być skośne, ponieważ leżą w płaszczyźnie . Jeśli proste k, I przecinałyby się, to z tego by wynikało, że płaszczyzny  i też by się przecinały, co wobec założenia  jest niemożliwe. Skoro proste k, I nie przecinają się i nie są skośne, więc znaczy to, że są równoległe.

Zadania do zrobienia