1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym na płaszczyznę

Umiejętność właściwego narysowania figur jest bardzo ważna, ponieważ źle narysowany rysunek może doprowadzić do wyciągnięcia błędnych wniosków i złego rozwiązania zadania

Definicja: Niech dana będzie w przestrzeni płaszczyzna n, zwana rzutnią, i prostak, która przebija rzutnię. Kierunek prostej k nazywamy kierunkiem rzutu. Jeśli przez dowolny punkt A przestrzeni poprowadzimy prostą I równoległą do prostej k, to przebija ona rzutnię w punkcie . Punkt  nazywamy rzutem równoległym punktu A na płaszczyznę n w kierunku prostej k.

Rzut równoległy na płaszczyznę jest przekształceniem odwzorowującym zbiór punktów przestrzeni w zbiór punktów płaszczyzny.

Twierdzenia:

Twierdzenie 1
Rzut równoległy na płaszczyznę nie zachowuje odległości punktów (inaczej mówiąc: rzut równoległy na płaszczyznę nie jest izometrią).
Obraz figury w rzucie równoległym na płaszczyznę można rozumieć jako cień, który tworzy przedmiot w słoneczny dzień.

Twierdzenie 2
Rzut równoległy na płaszczyznę odcinka równoległego do rzutni jest odcinkiem równoległym do danego i mającym taką samą długość Jak odcinek dany.
 
Twierdzenie 3
Rzut równoległy na płaszczyznę zachowuje uporządkowanie punktów leżących na prostej nierównoległej do kierunku rzutu.

Wyjaśnienie: Jeśli punkty A,B,C leżące kolejno na prostej nierównoległej do kierunku rzutu. To rzuty równoległe ,, są współliniowe i leżą w identycznej kolejności.

Stosując Tw. Talesa otrzymujemy, że:  =

Twierdzenie 4
W rzucie równoległym na płaszczyznę stosunek długości odcinków leżących na prostej nierównoległej do kierunku rzutu jest równy stosunkowi długości ich rzutów.

Czyli: =

Twierdzenie 5
Rzuty równoległe na płaszczyznę odcinków równoległych: (ale nierównoległych do kierunku rzutowania) są odcinkami równoległymi i stosunek długości tych odcinków jest stosunkiem długości ich rzutów.

Czyli:  =

W dowodzie wykorzystuje się szczególny przypadek Tw.4
Przykład 1

Narysujemy rzut równoległy na płaszczyznę prostokąta ABCD, przyjmując założenie, że bok AB jest równoległy do rzutni, a płaszczyzna (ABCD) nie jest równoległa do kierunku rzutowania.

Rozwiązanie:

Rysujemy najpierw rzut odcinka AB, odcinek A1B1 (pamiętając, że ǀǀ = ǀABǀ)

 Punkt C1 wybieramy dowolnie.

Zauważamy, że odcinki AB i CD są równoległe (do siebie i do rzutni) i mają taką samą długość, więc rzuty równoległe tych odcinków też są równoległe i mają identyczną długość więc

 ǀǀ = ǀǀ i  ǁ .
Rzutem równoległym prostokąta jest równoległobok.

Przykład 2

Narysujemy rzut równoległy na płaszczyznę pięciokąta foremnego ABCDE, którego bok CE jest 2 razy większy niż AB i kąt CDE jest prosty, przyjmując założenie, że przekątna CE jest równoległa do rzutni, a płaszczyzna (ABC) nie jest równoległa do kierunku rzutowania.
Rozwiązanie:

Zaczynamy od narysowania odcinka ǀǀ, pamiętając, że II = ICEI
Odcinek AB jest równoległy do odcinka CE, a więc i do rzutni.

Znajdujemy punkt  który da z punktami  i  kąt prosty

 


Zadania do zrobienia


1.  W trójkącie ABC wysokość CD dzieli podstawę AB na dwa odcinki, których długości pozostają w stosunku 1 : 3. Odcinek CE jest środkową tego trójkąta. Narysuj rzut równoległy tego trójkąta w przypadku, gdy bok AB jest równoległy do rzutni, a płaszczyzna (ABC) nie jest równoległa do rzutni i nie jest równoległa do prostej wyznaczającej kierunek rzutowania. Zaznacz rzut wysokości CD oraz rzut środkowej CE. W jakim stosunku punkty D1 i E1 dzielą A1B1 trójkąta A1B1C1?

Odp.  |A1D1| : |D1E1| : |E1B1| = 1 : 1 : 2