1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Rzut prostokątny na płaszczyznę

Dwie proste nazywamy prostymi prostopadłymi wtedy, gdy przecinają się one pod kątem prostym.

Definicja 1: Prosta i płaszczyzna są prostopadłe (czyli: k⊥ π)  wtedy, gdy prosta jest prostopadła do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie i przecinającej daną prostą.

Sprawdzenie tego umożliwia Twierdzenie 1: Jeśli prosta jest prostopadła do dwóch prostych leżących na płaszczyźnie i przebija płaszczyznę w punkcie ich przecięcia to jest prostopadła do tej płaszczyzny.

 Przykład 1

Ostrosłup czworokątny ABCDS, którego podstawą jest trapez równoramienny ABCD posiada równe ramiona AS i CS. Punkt E jest środkiem boku AB, a punkt F jest środkiem boku CD. Udowodnij, że AB jest prostopadły do płaszczyzny EFS.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że bok EF jest wysokością trapezu, a więc jest prostopadły do prostej AB

Bok EF jest też prostopadły do prostej SE, która jest wysokością trójkąta równoramiennego ABS

Ponieważ AB jest prostopadła do prostych SE i EF a zatem na mocy Tw. 1 jest ona prostopadła do płaszczyzny EFS c.k.d.

 

Twierdzenie 2: Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, to są równoległe.

Definicja 2: Płaszczyzna π1 jest prostopadła do płaszczyzny π2 wtedy, gdy w płaszczyźnie π1 jest zawarta prosta prostopadła do płaszczyzny π2 (zapisujemy to π1⊥π2

Znajomość pojęcia prostopadłości płaszczyzn umożliwia określenie rzutu prostokątnego na płaszczyznę.

Definicja 3: Rzutem prostokątnym na płaszczyznę nazywamy rzut równoległy (na płaszczyznę), którego kierunek jest wyznaczony przez prostą prostopadłą do rzutni.

Posługując się tym pojęciem możemy określić pojęcie odległości prostej od płaszczyzny.

Definicja 4: Odległością punktu A od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AB, gdzie B jest rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę π. Odległość tę oznaczamy d(A, π).

 Przykład 2

Odległość punktu A od leżącego na płaszczyźnie π punktu B wynosi 22, oblicz odległość punktu A od płaszczyzny, jeśli kąt ABC wynosi 30’, gdzie C jest Najbliższym punktem do punktu A leżącym na płaszczyźnie.

Rozwiązanie:
Skoro punkt C jest najbliższym punktem na płaszczyźnie  do punktu A to oznacza, że kąt BCA jest prosty
Z twierdzenia sinusów wyliczamy, że  =  → = 11
Odp. Odległość punktu A od płaszczyzny π wynosi 11.

Definicja 5: Odległością prostej I (równoległej do płaszczyzny π) od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AB, przy czym A jest dowolnym punktem prostej l, B - rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę π.


Zadania do zrobienia


1. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym AC jest przeciwprostokątną.  Odcinek BS jest prostopadły do płaszczyzny , w której zawarty jest trójkąt ABC. Niech punkt D należy  do odcinka CS. Wykaż, że trójkąt  ABD jest prostokątny.

Odp. wskazówka: Wykaż, że prosta AB jest prostopadła do płaszczyzny (BSC).


2. W równoległoboku ABCD przekątne przecinają się w punkcie O. Punkt S nie należy do płaszczyzny  (ABCD). Wiadomo, że |AS| = | SC| oraz |SD| = |SB|. Czy odcinek SO jest prostopadły do płaszczyzny ABCD? Odpowiedź uzasadnij.

Odp. Tak.


3. W trójkącie prostokątnym ABC punkt O jest środkiem przeciwprostokątnej AB. Punkt S nie należy do płaszczyzny (ABC). Wiadomo, że |AS| =  |SB| = |SC|. Wykaż, że odcinek  SO jest prostopadły do płaszczyzny (ABC).

Odp. wskazówka: Wykaż, że SO jest prostopadła do AB oraz, ze trójkąty AOS, BOS i COS są przystające.


4. Rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę  jest punkt A’. Do prostej k zawartej w płaszczyźnie  i przechodzącej przez punkt A’ należą punkty B, C, przy czym punkt B leży miedzy punktami A’ i C. Wiedząc, że |AB| = 10 cm, |BC|= 9 cm oraz |AC| = 17 cm, oblicz odległość punktu A od płaszczyzny .

Odp.  8 cm.