1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

Twierdzenia przedstawione w tym temacie mogą w pewnych przypadkach ocenić, czy kąt między przecinającymi się w przestrzeni prostymi jest prosty.

Twierdzenie 1: Jeśli prosta l przebija płaszczyznę π i nie jest do niej prostopadła oraz prosta m leżąca na płaszczyźnie  π jest prostopadła do rzutu prostokątnego  l1 prostej I na płaszczyznę  π i przecina prostą l, to prosta m jest prostopadła do prostej l.
Twierdzenie 2: Jeśli prosta I przebija płaszczyznę π i nie jest do niej prostopadła oraz prosta m leżąca na płaszczyźnie π jest prostopadła do prostej I, to jest prostopadła do rzutu prostokątnego l1 prostej I na płaszczyznę π.
Powyższe dwa twierdzenia zapisując jednocześnie otrzymujemy twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych (Tw.3): Jeśli prosta l przebija płaszczyznę π i nie jest do niej prostopadła, prosta l1 jest rzutem prostokątnym prostej I na płaszczyznę π, prosta m leży na płaszczyźnie π i przecina prostą l, to prosta m jest prostopadła do prostej I wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l1.

Przykład

W trójkącie równoramiennym ABC leżącym na płaszczyźnie, gdzie ǀABǀ=ǀACǀ=25 i ǀBCǀ=20. W punkcie D będącym środkiem boku BC poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny. Punkt E jest punktem na tej prostej takim, że ǀEBǀ= 10. Oblicz pole trójkąta AEB.
Rozwiązanie:

Rysunek:

Zauważamy, że AD jest wysokością trójkąta ADC, z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy:  → ǀADǀ =

Pole ADC =


Zadania do zrobienia


1. W trójkącie różnobocznym ABC punkt E jest środkiem odcinka BC. Odcinek AD jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Czy prosta DE jest prostopadła do prostej BC? Odpowiedź uzasadnij.

Odp.  Nie.


2. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |AC| = 15 cm, |BC| = 20 cm. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny (ABC) i ma długość  22,5 cm. Oblicz wysokość trójkąta ABD poprowadzoną na bok AB.

Odp. 25,5 cm.


3. W trójkącie ABC boki mają długość: |AB| = 60 cm, |AC| = |BC| = 50 cm. Odcinek AD jest prostopadły  do płaszczyzny (ABC). Odległość punktu D od prostej BC jest równa 52 cm. Oblicz odległość punktu D od płaszczyzny (ABC).

Odp. 20 cm.