1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny

Jeśli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to tworzy z nią tzw. kąt zerowy. Jeśli jest ona prostopadła to tworzy z nią kąt 90 stopni. W innych, czyli „pośrednich” sytuacjach otrzymujemy inne niż 0 i 90 stopni kąt między prostą a płaszczyzną.

 Definicje:

Definicja 1: Kątem między prostą I (przebijającą płaszczyznę n i nieprostopadłą do niej) a płaszczyzną  nazywamy kąt ostry a między prostą I a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę .

Definicja 2: Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

Płaszczyzny nazywamy ścianami kąta dwuściennego, zaś wspólną część tych płaszczyzn, krawędzią kąta dwuściennego. W wyniku takiego połączenia powstają 2 kąty dwuścienne, zaznaczony na rysunku kąt α oraz drugi, wypukły kąt (360-α). Aby policzyć kąt dwuścienny korzystamy z Definicji 3.

Definicja 3: Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy część wspólną kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.

Przykład 

Kąt dwuścienny między płaszczyznami przedstawionymi na rysunku wynosi 120° stopni. Odległość punktu A leżącego na ścianie od drugiej ściany kąta jest równa 6. Oblicz odległość tego punktu od płaszczyzny l oznaczone na rysunku jako x.

Rozwiązanie:
Zauważamy, że trójkąt ABC jest równoramienny, gdzie B- punkt na prostej l najbliższy A i C, punkt na drugiej ścianie gdzie ǀACǀ=6

Rysunek trójkąta:

Z twierdzenia sinusów:  =  → x=



Zadnia do zrobienia


1. Prosta k przebija płaszczyznę  w  punkcie A. Punkt B należy do prostej l, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę  oraz |AB| = 8 cm. Oblicz odległość punktu B od prostej k jeśli kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny  ma miarę 45 .

Odp. 4  cm.


2. Dane są dwa przystające romby ABCD i DCEF o wspólnym boku DC długości 4 cm. Miara kątów ostrych tych rombów jest równa: |∢ADC| = |∢DCE| = 45 . Płaszczyzny zawierające te romby tworzą kąt dwuścienny o mierze 120 . Oblicz odległość miedzy prostymi AB i EF.

Odp. 2 cm.


3. Trójkąt prostokątny ABC zawiera się w płaszczyźnie , przy czym |∢ABC| = 90  oraz |AC| = 20, |AB| = 12. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny  i ma długość 12. Oblicz:

a) sinus kta nachylenia prostej AD do płaszczyzny

b) sinus kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny .

Odp. a)

          b) 0,6


4. Trójkąt prostokątny ABC zawiera się w płaszczyźnie , przy czym |AB| = 10, |BC| = 6 oraz | ACB| = 90 .Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny  i ma długość 8. Oblicz:

a) miarę kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny

b) cosinus kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny

c) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny .

Odp. a) 45

          b) 0,6          

          c)1