Wysokość ostrosłupa: prosta, której jednym końcem jest wierzchołek ostrosłupa, drugim jej rzut prostokątny na płaszczyznę podstawy. Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy nazywamy spodkiem wysokości ostrosłupa.

Na przedstawionym rysunku mamy zaznaczone odpowiednio:

Niebiesko: podstawę ostrosłupa
Zielono: wysokość ostrosłupa
Czerwono: krawędzie boczne ostrosłupa
Pomarańczowo: wierzchołek ostrosłupa
Analogicznie do graniastosłupów ostrosłupy nazywamy od figury będącej podstawą np. trójkątny, czworokątny, sześciokątny itp.

Przykład 1

Zauważamy, że trójkąty EOS, GOS, FOS są przystające z zasady bkb (boki EO,OF,OG są identyczne gdyż jest to długość okręgu wpisanego w podstawę, wszystkie trójkąty mają bok OS będący wysokością ostrosłupa, i kąt między tymi bokami wynosi 90 stopni). Trójkąty EOS, GOS, FOS są przystające, zatem boki ES, GS, FS będące wysokościami ścian bocznych w ostrosłupie, zatem wysokości ścian bocznych tego ostrosłupa mają jednakową długość c.k.d.

Ostrosłup prawidłowy: ostrosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny. Jego ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Rysowanie ostrosłupa na przykładzie ostrosłupa czworokątnego:
Rysowanie podstawy:

Wyznaczenie spodka wysokości będącego przecięciem się wysokości w trójkącie:

Narysowanie wysokości ostrosłupa:

Dorysowanie krawędzi bocznych ostrosłupa:

Przykładowe kąty w ostrosłupie na przykładzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:
1. Kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy:

2. Kąt między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy:

3. Kąt między wysokością ostrosłupa a przekątną ściany bocznej:

4. Kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych:

Przykład 2

Oblicz miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi α ∈ (0,180°) w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, którego długość krawędzi ściany bocznej wynosi 5 a długość krawędzi podstawy wynosi 10.

Prowadzimy wysokość ściany bocznej dla dowolnej ściany bocznej (wszystkie ściany boczne są trójkątami przystającymi)

Obliczamy długość boku FS z twierdzenia pitagorasa i otrzymujemy ǀFSǀ=
Obliczamy długość boku EB za pomocą policzenia pola trójkąta BCS na 2 sposoby:

 *  * ǀEBǀ =  * 10 *  → ǀEBǀ= 10

Z tw. cos obliczamy cosinus α: 200 = α → α= -  ٨

α ∈ (0,180°) → α= 120°

Przykład 3

Zmienne: H-wysokość ostrosłupa, h-wysokość ściany bocznej

Zmienne które mamy podane to „a” i „α”, musimy uzależnić długość wysokości tego ostrosłupa od tych zmiennych

Rysujemy ostrosłup:

Korzystamy z tw. Pitagorasa w trójkącie ECS i zapisujemy:

Z zależności w trójkącie OES otrzymujemy:  = α → h=

Podstawiamy do tw. Pitagorasa i otrzymujemy: =  

Po uporządkowaniu otrzymujemy odpowiedź: H=

Zadania do zrobienia

1. W pewnym ostrosłupie liczba ścian jest  6 mniejsza od liczby krawędzi. Oblicz, ile wierzchołków ma ten ostrosłup.

Odp. 8.

2.  W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 4  cm, a krawędzi bocznej – 5 cm. Oblicz:

a) wysokość tego ostrosłupa

b) wysokość ściany bocznej, poprowadzoną na krawędź podstawy

c) odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej.

Odp. a) 3 cm

         b cm

        c) 2,4 cm

3. Dany jest czworościan foremny o wysokości H i krawędzi długości a.

a) Wykaż, że 3H² = 2a²

b) Wiedząc dodatkowo, że wysokość jest o 1 krótsza od krawędzi, oblicz a. Wynik przedstaw w postaci a + b , gdzie a, b, c  N