Objętość to liczba, którą można przyporządkować pewnym figurom przestrzennym. Na początku ustala się jednostkę, sześcian o objętości 1, jeśli chcemy obliczyć np. prostopadłościan o wymiarach 1x1x6 to dzielimy go na 6 takich sześcianów i obliczamy, że ma objętość 6.

Twierdzenie 1 (o własności objętości):

1. Objętość bryły jest liczbą nieujemną.

2. Objętości brył przystających, wyznaczone przy tej samej jednostce, są równe.

3. Jeśli bryła F składa się z dwóch brył  i  , mających objętości i wnętrzami rozłącznych, to

objętość bryły F jest równa sumie objętości brył  i  (przy tej samej jednostce).

4. Sześcian o krawędzi jednostkowej ma objętość równą 1.

Twierdzenie 2 (o objętości graniastosłupa): Objętość V graniastosłupa jest równa iloczynowi pola podstawy  i wysokości h graniastosłupa: V=  · h

Przykład 1

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krótsza przekątna tworzy z wysokością kąt 60° a pole podstawy wynosi 15.

Rozwiązanie:
Oznaczenia: H-wysokość graniastosłupa a-długość krawędzi podstawy

Rysunek:

Ze wzoru  = 15 otrzymujemy, że a=10

Z zależności w trójkącie AEE’ otrzymujemy, że  =  → H=30

Ze wzoru  = 15 otrzymujemy, że a=10
Obliczamy objętość: V= 15*30=450

Twierdzenie 3 (o objętości ostrosłupa): Objętość V ostrosłupa jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy  i wysokości H ostrosłupa: V =  *  * H

Przykład 1

Dane: x,y  H-wys. Ostrosłupa h- wys. Podstawy R-promień okręgu opisanego na podstawie

Odpowiedni rysunek:

Ustawiając odpowiednio bryłę otrzymujemy, że wszystkie krawędzie boczne mają długość x, zatem spodkiem wysokości w tym ostrosłupie jest środek okręgu opisanego na podstawie

Obliczamy wysokość podstawy, czyli trójkąta równoramiennego o bokach długości x,y,y: :  → h=

=  * * y

Obliczamy R np. porównując pola i otrzymujemy: R=

Obliczamy H z tw. Pitagorasa:  + =  →  =  -  → H=

V=  * H *  =   * y

Przykład 2

Oblicz objętość ostrosłupa o wysokości 10 i podstawie pięciokąta o bokach: ׀AEǀ=ǀAB׀= 8cm, ׀BCǀ=ǀED׀= 12cm, ǀCDǀ=8cm i kąt BAE jest równy 45°

Prowadząc przekątną podstawy BE stwierdzamy, że pole powierzchni podstawy jest sumą pól trójkąta BAE i trapezu równoramiennego BCDE.

Pole trójkąta BAE=  * 8cm * 8cm * sin45°=128

Pole trapezu BCDE (rysunek):

Opuszczając wysokość otrzymujemy odcinek CG będący wysokością ostrosłupa.

ǀBGǀ= =4cm

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta BGC otrzymujemy: = 144-16→ = 8cm

Pole BCDE=  * 8 = 96

= 128 96 = 224
 V=  * 224 * 10 =  

Zadania do zrobienia

4,1 dm).