1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Przekroje wielościanów – zadania

Przykład 1

Prostopadłościan ABCDEFGH o wysokości 10 i podstawie kwadratu o długości boku 8 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty BEG. Oblicz pole tego przekroju.

Rozwiązanie:
Rysujemy odpowiedni rysunek:

Przekrój ten jest trójkątem
Obliczamy długość boku BE z tw. Pitagorasa w trójkącie ABE: = 100+64→BEǀ= 2 analogicznie ǀBGǀ= 2

Długość boku EG obliczamy ze wzoru na połową kwadratu EFG: ǀEGǀ= 8

Obliczamy wysokość h trójkąta równoramiennego → h=2

Obliczamy pole trójkąta: P=  * 2 * 2 = 2

Przykład 2

Sześcian ABCDEFGH o krawędzi a i punkcie przecięcia się podstaw S przecięto płaszczyzną przez boki CS i CG, oraz nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°.
Rozwiązanie:
Przekrojem tym może być trapez lub trójkąt, aby to sprawdzić rysujemy trójkąt SCG i sprawdzamy miarę kąta CSG (α)
tg α=, α wynosi około 54° α <60° → przekrój ten jest trapezem
Rysunek:

Do pola trapezu SCGI gdzie I jest punktem wspólnym trapezu i płaszczyzny EFGH potrzebujemy 2 podstaw: GI i SC oraz wysokości CG. Znamy długość CG (a) oraz długość GH (), szukamy długości boku S.C.
Rysunek trapezu SCGI:

ǀSCǀ=x  ǀSCǀ= ǀSXǀ + ǀXCǀ gdzie X to wysokość opuszczona na SC z wierzchołka H, ǀXCǀ=ǀGHǀ=
Z trójkąta SXH otrzymujemy, że ǀSXǀ=
ǀSCǀ=  +
Pole trapezu SCGH= * + + )* a =



Zadania do zrobienia



1. Długości boków prostopadłościanu pozostają w stosunku 3 : 4 : 5. Przez najdłuższą krawędź i przekątną najmniejszej ściany poprowadzono przekrój, którego pole jest równe 100 cm2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.

Odp. 376 cm2.


2. Przez przekątną postawy sześcianu mającego krawędź o długości a poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 . Oblicz pole otrzymanego przekroju sześcianu.

Odp. 24 ;  wskazówka: Przekrojem jest trapez równoramienny.


3.  Wysokość ostrosłupa podzielono na cztery równe części i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe .  Oblicz pola otrzymanych przekrojów.

Odp.


4. Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego ma długość 8 dm, a krawędź podstawy – 4 dm. Przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Odp. 3 dm2.


5. Przez krawędź AB podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCD poprowadzono płaszczyznę, do której należy środek S krawędzi CD. Wiedząc, że otrzymany przekrój tworzy z płaszczyzną podstawy 45 , oblicz cosinus kąta ASB.

Odp.