Walec

Rysunek walca: r- promień walca, H- wysokość walca

Przekrój walca: część wspólna tego walca i dowolnej płaszczyzny
Przekrój osiowy: zawierający oś obrotu walca to przekrój płaszczyzny. Jest on prostokątem którego jednym bokiem jest średnica podstawy, a drugim wysokość walca.
Rozwinięcie powierzchni walca o promieniu podstawy r i wysokości H (rysunek): 2πr

Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem , którego jeden bok ma długość równą obwodowi podstawy (2πr), a drugi - ma taką samą długość jak wysokość walca (H).

Twierdzenie 1:
Pole powierzchni bocznej  walca określa wzór = 2πr · h
pole podstawy  =  
pole powierzchni całkowitej = 2πr · H + 2 = 2πr(H + r), gdzie r jest promieniem podstawy, H -wysokością walca.

Przykład 1

Podstawiamy do wzoru na pole powierzchni całkowitej walca: = 2r · h + 2 = 4
Rozwinięcie walca o wysokości H i promieniu podstawy r na płaszczyźnie(rys.):

Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem , którego jeden bok ma długość równą obwodowi podstawy (2r), a drugi - ma taką samą długość jak wysokość walca (h).

Stożek

Oś obrotu stożka: prosta wokół której obracamy trójkąt

Podstawa stożka: koło, które zakreśla przyprostokątna prostopadła do osi obrotu

Powierzchnia boczna stożka: powierzchnia zakreślona przez przeciwprostokątną

Powierzchnia całkowita stożka: powierzchnia tworzona przez podstawę i powierzchnie boczną stożka

Wierzchołek stożka: wspólny koniec przeciwprostokątnej i przyprostokątnej zawartej w osi obrotu

Wysokość stożka: odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek stożka, a drugim - rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy

Przekrój stoż­ka płaszczyzną zawierającą jego oś obrotu nazywamy przekrojem osiowym stoż­ka, jest on trójkątem równoramiennym, kąt między ramionami tego trójkąta nazywamy kątem rozwarcia stożka.

Rozwinięcie powierzchni stożka na płaszczyźnie (rys.):

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła

Twierdzenie 2:
Pole powierzchni bocznej Pb stożka: =·r·l
pole podstawy = p
pole powierzchni całkowitej =rl+  = r(l+ r),
gdzie r jest promieniem podstawy stożka, I - długością tworzącej.

Przykład 1

Rysunek:

Stosunek  do =  →  =  =  

 to sinus połowy kąta rozwarcia stożka,  =

Przykład 2

1  szkła kosztuje 30zł. Ile złotych należy wydać na pokrycie szkłem powierzchni bocznej budynku o kształcie stożka, którego wysokość ma 100m zaś kąt rozwarcia tego stożka wynosi 60° ? Wynik podaj w przybliżeniu do 2 miejsca po przecinku ( zakładamy, że  

Rozwiązanie:

Rysunek:  

Połowa kąta rozwarcia stożka wynosi 30° a zatem w zależności w trójkącie AOS tworząca wynosi 100m

= 100 *  * 100  = 3,14 * 100 * 100 * 1,73 = 54 322

Koszt:   = 1810,73 zł

Kula i sfera

Kulą o środku w punkcie O i promieniu R, R > O, nazywamy zbiór punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest równa R. Taką sferę oznaczamy s(O, R).

Sferą o środku w punkcie  O i promieniu R, R > O, nazywamy zbiór punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest nie większa niż R. Taką kulę oznaczamy k(O, R).
Rysunek:

Sferę i kulę można też otrzymać w wyniku obrotu pewnej figury F wokół pewnej prostej l
Wzajemne położenie płaszczyzny i sfery(kuli):
Sfera(kula) nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną, odległość sfery(kuli) od prostej jest wtedy większa od promienia sfery(kuli) (d>R)

Sfera(kula) ma 1 punkt wspólny z płaszczyzną, jest do niej styczna, promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do płaszczyzny stycznej (d=R)

Sfera(kula) ma nieskończenie wiele punktów ze z płaszczyzną,  przecina wtedy płaszczyznę odległość sfery(kuli) od prostej jest wtedy mniejsza od promienia sfery(kuli) (d<R), punktem wspólnym płaszczyzny i sfery (kuli) jest okrąg, którego promień wynosi . Jeśli środek sfery(kuli) znajduje się na płaszczyźnie,

wtedy okrąg ten nazywamy kołem wielkim sfery (okręgiem wielkim kuli), w takim wypadku jego promień jest równy promieniowi sfery(kuli).

Kula jest wpisana w stożek (stożek jest opisany na kuli) wtedy i tylko wtedy, gdy jest styczna do podstawy stożka i każdej jego tworzącej. Kula jest opisana na stożku (stożek jest wpisany w kulę) wtedy i tylko wtedy, gdy okrąg podstawy stożka zawiera się w sferze wyznaczającej tę kulę i wierzchołek stożka należy do tej sfery. W każdy stożek można wpisać kulę i na każdym stożku można opisać kulę.

 Twierdzenie 3: Jeśli w przestrzeni dwa okręgi leżące w różnych płaszczyznach mają dwa punkty wspólne, to istnieje tylko jedna sfera zawierająca te okręgi.

Przykład 3

Oblicz wysokość stożka o polu podstawy równym 144 opisanego na kuli o promieniu 6

Rozwiązanie:

Oznaczenia: H-wysokość stożka r- promień podstawy stożka

Rysunek:

Obliczamy  → r=12 (r>0)

Rysunek w 2D, czyli rysunek okręgu wpisanego w trójkąt ABD:

Obliczamy  → r=12 (r>0)

Korzystamy z podobieństwa trójkątów ABS i CSO: → H=16

W sześcian, którego krawędź ma długość a, można wpisać kulę o promieniu 2. Środkiem tej kuli jest punkt O przecięcia przekątnych sześcianu. Punkt O jest też środkiem kuli opisanej na tym sześcianie. Promień tej kuli jest równy połowie długości przekątnej sześcianu, czyli

Twierdzenie 4: Pole powierzchni P kuli o promieniu r wyraża się wzorem P = 4 

Przykład 4

Oblicz stosunek promienia kuli do promienia podstawy stożka gdzie stosunek pola powierzchni całkowitej stożka to pola podstawy stożka wynosi

Rozwiązanie:

Pole kuli: Pk=

Pole podstawy stożka:

 =  =  →  →  = 8 →  =

Zadania do zrobienia