Twierdzenie 1: Objętość V walca o promieniu podstawy r i wysokości h wyraża się wzorem:
V=  * h

Przykład 1

Oblicz promień podstawy walca, którego objętość wynosi 8, a promień podstawy, wysokość walca i średnica są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie:

Z warunku, że promień podstawy, wysokość walca i średnica są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego otrzymujemy, że 2r+r=2h → h=

 (V= 8 ٨ V=  * h= )→  8 → r=

Twierdzenie 2:  Objętość V stożka o wysokości h i promieniu podstawy r wyraża się wzorem:  V=   * h

Przykład 2

Rozwiązanie:

2a- promień 1 stożka b- wysokość 2 stożka - obj. 1 stożka   - obj. 2 stożka
Suma tych stożków jest sumą szeregu geometrycznego, potrzebujemy jego ilorazu q i 1 wyrazu

1 wyrazem jest objętość 1 stożka: =   * b=  

Ilorazem jest iloraz 1 i 2 objętości: =   * 2b=

 → q= =

 =

Twierdzenie 3: Objętość V kuli o promieniu r wyraża się wzorem: V=

Przykład 3

Rozwiązanie:

r- mniejszy promień kuli R- większy promień kuli

Stosunek pól ich powierzchni:  =

Stosunek objętości: =  =  →  =  →  =

Zadania do zrobienia

1. Objętość walca wynosi   cm³. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca, wiedząc, że po rozwinięciu jest on kwadratem.

Odp. 36 cm².

2. Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi  4 : 3, a przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Oblicz objętość bryły powstałej  wyniku obrotu tego trójkąta wokół:

a) krótszej przyprostokątnej

b) dłuższej przyprostokątnej

c) przeciwprostokątnej.

Odp. a)2000  cm³

          b) 1500  cm³

          c) 1200  cm³.

3. Objętość kuli K₁ jest 27 razy większa od objętości kuli K₂. Oblicz:

a) stosunek promieni obu kul

b) stosunek pól powierzchni tych kul.

Odp. a) 3

         b) 9