1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii przestrzennej

Przykład 1

Rozpatrujemy wszystkie walce, których suma  wysokości i promienia wynosi 2. Oblicz wysokość tego walca, który ma
największą objętość.

Rozwiązanie:
Zmienne: r-promień podstawy walca H wysokość walca
V=  * h, z równania r+H=2 → H=2-r wyznaczamy H, podstawiamy do objętości i otrzymujemy funkcję 1 zmiennej: V(r)=  * (2-r)= -+2

Obliczamy dziedzinę funkcji: 2-r>0 ٨ r>0 → r<2 ٨ r>0 → r∈(0,2)
Obliczamy pochodną funkcji: = -+4 
Przyrównujemy pochodną do 0: +4=0 → (r=0 ٧ r= ٨ r∈(0,2) → r=
Rysujemy wykres pochodnej funkcji P: A(

Rysujemy przebieg zmienności funkcji V: 

Obraz zawierający stół Opis wygenerowany automatycznie

Analiza przebiegu zmienności funkcji: Funkcja V jest rosnąca w przedziale (i malejąca w przedziale < To znaczy, że dla argumentu  funkcja V ma wartość największą

 

Przykład 2

Oblicz pole podstawy tego stożka o tworzącej l, który ma  największą objętość.
Rozwiązanie:
Rysunek:

Z tw. Pitagorasa w trójkącie AOS:  →

V=  * h, z równania r+H=2 → H=2-r wyznaczamy H, podstawiamy do objętości i otrzymujemy funkcję 1 zmiennej: V(r)=  * =

Dziedzina funkcji: r>0 ٨  → r∈ (0,l)

Funkcja podpierwiastkowa, czyli funkcja g(r)=  przyjmuje wartość największą dla takiego samego argumentu co funkcja V(r)

= =0 → r= (2 pozostałe rozwiązania, r=0٨ r= nie należą do dziedziny)

Rysujemy wykres pochodnej funkcji g: A(

Rysujemy przebieg zmienności funkcji V (ma ona monotoniczność identyczną jak funkcja g):

Obraz zawierający stół Opis wygenerowany automatycznie

Analiza przebiegu zmienności funkcji: Funkcja jest rosnąca dla r∈( i malejąca dla r∈( więc dla r=  przyjmuje wartość największą

Pole podstawy tego stożka: P= =

Przykład 3

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości 1 szukamy tego który ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej, pole podstawy tego ostrosłupa. Oblicz pole podstawy w tym graniastosłupie.
Rozwiązanie:

Rysunek:

V=  * H →  * H=1 → H=

=2* + 3a*H=  + 3a*H=  +  = P(a)

Dziedzina: a>0

P’(a)= a  

a  =0 → a=

Rysujemy wykres pochodnej funkcji P: A(

Rysujemy przebieg zmienności funkcji P:

Obraz zawierający stół Opis wygenerowany automatycznie

 Analiza przebiegu zmienności funkcji: Funkcja jest malejąca dla r∈( i rosnąca dla r∈( więc dla r=  przyjmuje wartość największą

 =  =


Zadania do zrobienia


1. Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których jedna z krawędzi jest równa 48 cm. Wyznacz wymiary tego graniastosłupa, który ma największą objętość. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Odp. 4 cm, 4 cm, 4 cm, V=64 cm3; wskazówka: V(x)=-2x3+12x2, gdzie x (0,6), x-długość krawędzi podstawy.


2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi bocznej mającej długość b, poprowadzono płaszczyznę zawierającą krawędź boczną i wysokość ostrosłupa. Wiedząc, że otrzymany przekrój ma największe pole powierzchni, oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Odp. krawędź podstawy ma długość b; wskazówka: P(x)=  , x , x-długość krawędzi podstawy, P(x)-pole przekroju ostrosłupa w zależności od x.


3. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym 9  cm2. W ten stożek wpisujemy walce w taki sposób, że jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie stożka, a okrąg drugiej podstawy walca jest zawarty w powierzchni bocznej stożka,. Wyznaczymy objętość tego walca, który ma największą objętość.

Odp. 4  cm3; wskazówka: V(R)= (-R3+3R2), gdzie R  (0, 3), R - promień podstawy walca, V(R)=-objętość walca w zależności od R.


4. W kulę o promieniu 3 wpisujemy ostrosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś  wierzchołki podstawy należą do powierzchni kuli. Napisz wzór funkcji opisującej objętość V(x) ostrosłupa w zależności od długości krawędzi x jego podstawy. Wyznacz maksymalną objętość ostrosłupa.

Odp. V(x)= , gdzie x ); VMAX = (2 ) = 4 .