Równania i nierówności wymierne z parametrem

 Zadanie 1

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie  =  ma rozwiązania.

Rozwiązanie:

D: m≠3 ٨ x≠-1

„wymnażamy na krzyż ułamek”:  = / * (m-3)(x+1)

(x+3)(x+1)= x(m-3)
- 4x +3= xm -3x
- x(1+m) +3 = 0= f(x)

Aby to równanie miało równania: ∆≥0 ٨ f(-1)≠0
1. f(-1)≠0 → -1 + 1 + m + 3≠0 → m≠-3
2. ∆≥0 →  – 12 ≥ 0 , po rozwiązaniu nierówności kwadratowej otrzymujemy, że m∈ (-∞,-1-2√3> ٧ <-1+2√3,+∞)
Po połączeniu warunków otrzymujemy: (m∈ (-∞,-1-2√3> ٧ <-1+2√3,+∞))٨m≠3٨m≠-3 → m∈ (-∞,-1-2√3> ٧ <-1+2√3,3) ٧ (3,+∞)

Zadanie 2

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie  >  ma rozwiązania dla x należącego do liczb rzeczywistych.

(Analiza): Aby nierówność była spełniona dla x∈R zarówno licznik jak i mianownik ułamka muszą być tego samego znaku. Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, funkcja będzie przyjmowała wartości ujemne i warunkiem, aby zawsze była ujemna jest, aby delta mianownika była ujemna. Ponieważ mianownik będzie wtedy zawsze ujemny licznik też musi być zawsze ujemny. Wtedy współczynnik przy najwyższej potędze musi być ujemny i delta także musi być ujemna
Warunki: m+2<0 ٨ ∆mian.<0 ٨ ∆licz. <0
m+2<0 → m < -2
∆mian.<0 →  – 4 < 0 → +8m+12<0 → m∈ (-6,-2)
∆licz. <0 →  – 28m – 56 < 0 →  -7m-14<0 → m∈(,)

Po połączeniu warunków otrzymujemy: (m∈(,) ٨ m∈ (-6,-2) ٨ m<-2 ) →

m należy do zbioru pustego

Zadania do zrobienia

1. Dla jakich wartości parametru m (m  R) układ równań  jest oznaczony i spełnia go para liczb (x, y) taka, że   0?

Odp. m    (2, +)

2. Dla jakich wartości parametru m (m  R) równanie (m - 2)x² - 3(m + 2)x + 6m = 0 ma dwa rozwiązania różnych znaków?

Odp. m  (0, 2)

3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m  R), dla których zbiorem rozwiązań nierówności  > 0 jest zbiór wszystkich licz rzeczywistych.

Odp. m  (-, 1)

4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m  R), dla których równanie  =  ma jedno rozwiązanie.

Odp. m