Rozpatrzmy równanie sin x = a, to równanie ma rozwiązania, gdy a∈<-1,1>.
1. Aby rozwiązać to równanie rysujemy 2 funkcje: y= sin x oraz y=a, a∈<-1,1>
2. Równanie sin x= a ma nieskończenie wiele rozwiązań, można to wygodnie zapisać w 2 seriach.
3. Wybieramy dowolne rozwiązanie  (np. najmniejsze dodatnie), zauważmy, że w odległości 2π,4π,6π… od  też mamy rozwiązania tego równania, wobec tego możemy zapisać, że x=+2kπ, gdzie k∈C
4. Drugą serię zapisujemy poprzez: x=π-+2kπ, gdzie k∈C

Analogicznie pokażemy teraz rozwiązanie równania cos x = a , gdzie a∈<-1,1>.
1. Aby rozwiązać to równanie rysujemy 2 funkcje: y= cos x oraz y=a, a∈<-1,1>
2. Równanie cos x= a ma nieskończenie wiele rozwiązań, można to wygodnie zapisać w 2 seriach.
3. Wybieramy dowolne rozwiązanie  (np. najmniejsze dodatnie), zauważmy, że w odległości 2π,4π,6π… od  też mamy rozwiązania tego równania, wobec tego możemy zapisać, że x=+2kπ, gdzie k∈C
4. Drugą serię zapisujemy poprzez: x=-+2kπ, gdzie k∈C

Uwaga! Jeśli w którymkolwiek z 2 powyższych przykładów ǀaǀ>1 to równanie nie ma rozwiązań

Przykład 1

sin x = -              b) cos x =                        c) sin x = -1

Rozwiązanie:

a) sin x = -  

1.Wykres:

 
2. Najmniejszym dodatnim rozwiązaniem równania jest x= 
3. Zapisujemy 1 serie rozwiązań: sin x= -  ↔ x=+2kπ, gdzie k∈C
4. Zapisujemy 2 serie rozwiązań: sin x= -  ↔ x=-+2kπ= +2kπ, gdzie k∈C
5. Odp. x=+2kπ ٧ x=+2kπ,gdzie k∈C

b) cos x =

1. Wykres:

      2. Najmniejszym dodatnim rozwiązaniem równania jest x= 
      3. Zapisujemy 1 serie rozwiązań: cos x =  ↔ x=2kπ, gdzie k∈C
 4. Zapisujemy 2 serie rozwiązań: cos x = ↔  x=2kπ, gdzie k∈C
 5. Odp. x=2kπ ٧ x=2kπ,gdzie k∈C

 c) sin x = -1

1. Wykres:

2. Najmniejszym dodatnim rozwiązaniem równania jest x= 
3. Zapisujemy 1 serie rozwiązań: sin x= - ↔ x=+2kπ, gdzie k∈C
4. Zapisujemy 2 serie rozwiązań: sin x= -  ↔ x=-+2kπ= +2kπ, gdzie k∈C
5. Zauważamy, że seria 1 i 2 się pokrywają
6. Odp. x=+2kπ, gdzie k∈C

Rozwiązanie:

Przekształcamy równanie do postaci: cos x=

Równanie to ma rozwiązania, gdy  ≥

Rozwiązując równanie otrzymujemy odpowiedź: m∈ <-6,0>

Rozważymy jeszcze sytuację równań prostych dla tangensa i cotangensa. Postępujemy analogicznie jak w sytuacjach z sinusem i cosinusem pamiętając o założeniach.

Rozpatrzmy równanie tgx= Rozpatrzmy równanie tg x = a, to równanie ma rozwiązania, gdy a∈R i x≠+kπ,k∈C
1. Aby rozwiązać to równanie rysujemy 2 funkcje: y= tg x, gdzie x≠+kπ,k∈C oraz y=a, a∈R
2. Równanie tg x= a ma nieskończenie wiele rozwiązań
3. Wybieramy dowolne rozwiązanie  (np. najmniejsze dodatnie), zauważmy, że w odległości π,2π,3π… od  też mamy rozwiązania tego równania, wobec tego możemy zapisać, że x=+kπ, gdzie k∈C i
x≠+ kπ,k∈C

Analogicznie rozwiązujemy równania dla cotangensa, pamiętając jedynie o tym, że dziedziną cotangensa jest x≠ kπ,k∈C

Przykład 3

Rozwiąż równania:
a) tg x= -1           b) ctg x=  

a) tg x= -1

1. Założenie: x≠+kπ,k∈C

2. Wykres:

3. Najmniejszym dodatnim rozwiązaniem równania jest x= 
4. Zapisujemy odpowiedź: tg x= - ↔ x=+kπ, gdzie k∈C ٨ x≠+kπ,k∈C

b) ctg x=  
1. Założenie: x≠kπ,k∈C
2. Wykres:

3. Najmniejszym dodatnim rozwiązaniem równania jest x= 
4. Zapisujemy odpowiedź: ctg x=  ↔ x=+kπ, gdzie k∈C ٨ x≠kπ,k∈C

Zadania do zrobienia