Mamy 2 dowolne kąty: α,β. Tym kątom odpowiadają kąty skierowane, które umieszczamy w układzie współrzędnych w taki sposób, że początkowe ramie każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią OX. Na końcowym ramieniu kąta o mierze α wybieramy punkt P(x,y), na końcowym ramieniu kąta o mierze β – punkt (). Przedstawiono to na poniższym rysunku:

Cosinus kąta między bokami OP i O wynosi: cos(α-β) 
(lub cos(β-α), pamiętaj, że cosinus jest funkcją parzystą)

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta PO otrzymujemy:

=+ – 2 cos(α-β) → cos(α-β)=
Z tego oraz z wyrażeń, że: ǀOPǀ=  ǀOǀ=  ǀPǀ=  

Otrzymujemy, że: cos(α-β)=

Po przekształceniu otrzymujemy, że: cos(α-β)=    +    =
= cos α  cos β + sin α  sin β

W szczególnych przypadkach, np. kiedy końcowe ramiona kątów się pokrywają lub uzupełniają na prostej to wyrażenie również jest prawdziwe, podobnie postępując z trzema innymi wyrażeniami otrzymujemy Twierdzenie 1

Twierdzenie 1
Jeśli α,β ∈R, to:
cos(α-β)= cos α  cos β + sin α  sin β
cos(α+β)= cos α  cos β - sin α  sin β
sin(α+β)= sin α cos β + cos α  sin β
sin(α-β)=  sin α  cos β  - cos α  sin β

Przykład 1

Oblicz sin()

1. Zauważmy, że =  +  =  +

2.  sin() = sin( + ) = sin()  cos() + sin()  cos()=    +   =

Dla tangensa mamy następujące wzory:

tg (α-β) =   

tg (α+β) =

Przykład 2

Wykres funkcji y= 3x+3 jest nachylony do wykresu funkcji pod takim kątem α ∈(0,),
że tg α= 3, analogicznie wykres funkcji y= -2x+5 jest nachylony do wykresu funkcji pod takim kątem α ∈(0,), że tg α= -2

Korzystamy z wzoru na tg (α-β) i otrzymujemy, że:
 tg (α-β)=  =  → α-β = ok. 8°

Jeśli we wzorze cos(α+β) założymy, że α=β to otrzymujemy następujące 3 wyrażenia zapisane jako Tw.2

Twierdzenie 2
Jeśli α,β ∈R, to:
cos 2α =
cos 2α = -1
cos 2α = 1
cos 2α = 1

Analogicznie jeśli we wzorze sin(α+β) założymy, że α=β to otrzymujemy Tw.3

Twierdzenie 3
sin 2α = 2sinα  cosα

Przykład 3

Wiedząc, że tgα =  i α∈ (,2) oblicz sin 2α

Korzystamy z tego, że tgα=  oraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy układ równań: =  ٨

Otrzymujemy z tego układu, że  = , ponieważ α∈ (,2) to cos α > 0

Ponieważ cos α =  to z jedynki trygonometrycznej sin α =  , ponieważ α∈ (,2) to sin α < 0

Ze wzoru na sin 2α otrzymujemy, że sin 2α = 2  ()   =

Przykład 4

Oblicz tg

Korzystamy z tego, że tg  = 

Skorzystamy dwukrotnie ze wzoru na cos 2α gdzie 2α =

 = -1 →  = -1 → cos  =

 =1 →  =1→  =

Zapisujemy, że  tg  =   =  = 

Zadania do zrobienia