Zapiszmy 4 znane nam wyrażenia:

1. cos(x-y)=  cos x   cos y + sin x  sin y
2. cos(x+ y)= cos x  cos y -  sin x  sin y
3. sin(x+ y)= sin x  cos y + cos x  sin y
4. sin(x-y)=   sin x   cos y  - cos x  sin y

Dodając wyrażenie 3 i 4 stronami otrzymamy: sin(x+y) + sin(x-y)= 2sin xcos y

Zakładając, że x=  i y =  otrzymujemy, że sin α+ sinβ= 2sin  cos

Postępując analogicznie otrzymujemy łącznie 4 wyrażenia które zapiszemy jako następujące Twierdzenie:

1) sin α+ sin β= 2sin cos
2) sin α – sin β= 2sin cos
cos α+ cos β= 2cos cos
sin α+ sinβ= -2sin sin

Przykład 1

Zapisz w postaci iloczynowej wyrażenia:
1. sin x – cos x
2. sin x + cos x

1. sin x – cos x = cos ( –x)- cos x =  -2 sin ( )  sin ) = 2 sin ( )  sin (x- )=

 sin (x- )

2.  - 2cos x = 2 ( – cos x) = 2 (cos   – cos x) = -22 sin    sin  =
= -4 [sin(  + ]  [sin(  - ]

Przykład 2

Wykaż, że 4  sin   cos  =  + 

Rozwiązanie:

L= 4 sin   cos  

4sin   cos  = 22 sin   cos  = 22 sin  cos  = 2 (sin + sin  ) =  += P c.k.d.

Zadania do zrobienia