Przykład 1

Rozwiąż nierówność: 3  tg (2x+) =

Rozwiązanie:

Zał. 2x+ ≠  + k, k∈C → x≠  + k, k∈C

Przekształcamy dzieląc przez 3 równanie do postaci: tg (2x+) =

Odczytujemy z wykresu funkcji tangens, że 2x+ =  + k, k∈C → Odp. x=

Przykład 2

Rozwiąż równanie -2+4+5sin(x+4)=0

W związku z tym że okres sin x wynosi przekształcamy równanie do postaci:
-2+4+5sin x=0

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy: 2-2+4+5sin x=0 → 2+5sin x+2=0

Robimy podstawienie, czyli sin x= t, t∈<-1,1>

Otrzymujemy teraz funkcję kwadratową 2+5t+2=0

Obliczamy pierwiastki: t= -2 ٧ t=  

t= -2 jest sprzeczne, więc mamy 1 rozwiązanie: t=  

sin x=  → Odp. x= -  + 2k ٧ x=   + 2k, k∈ C

Przykład 3

Rozwiąż równanie    = 0

Założenie: tg x≠1٨ ≠  + k, k∈C → ≠  + k٨ ≠  + k, k∈C

Z tego równania wynika, że = 0

Przekształcamy tangens na iloraz sinusa i cosinusa i otrzymujemy:   = 0 →

→ 2sinx = 0 → sinx = 0 → Odp. x= k, k∈C

Przykład 4

Rozwiąż równanie:  ● sin2x + cos2x = 1

Dzieląc przez 2 otrzymujemy:   sin2x + cos2x =  →   sin2x +   cos2x =

Korzystając ze wzoru na sinus sumy otrzymujemy:   sin2x +   cos2x= sin (2x+) =

Odczytujemy z wykresu funkcji sinus, że: 2x+ =  + 2k ٧ 2x+ =  + 2k, k∈C

Odp. x= k ٧ x =  + k, k∈C

Przykład 5

Rozwiąż równanie:  -  = 0

Zał: x≠  , k∈C

Przekształcamy:  -  = 0

 -  =   =  =  = 0

 → Odp. x=  + k, k∈C

Przykład 6

Wyznacz dla jakich wartości parametru m równanie  + 4cos x +3=m ma rozwiązania

Aby to równanie miało rozwiązania wartość m musi należeć do zbioru wartości funkcji f(cos x) znajdującej się po lewej stronie równania

Robimy podstawienie: t= cos x, t∈ <-1,1>

f(t)=  + 4t+3

Sprawdzamy, czy wierzchołek tej funkcji kwadratowej znajduje się w jej dziedzinie: =  = -

Wierzchołek należy do dziedziny

Obliczamy f() oraz wartości na krańcach przedziałów:

f(- ) = 2

f(-1)= 3

f(1) = 11

Z  powyższych wartości wynika, że f(t)∈ <2,11>, więc:

 Odp. to równanie ma rozwiązania, gdy m∈ <2,11>

Zadania do zrobienia

1. Rozwiąż równania:

a) sin  =

b) ctg  =

Odp.      a)   k  C

              b) x =  + 3k  k  C

2. Rozwiąż równania:

a)  = 1

b) 2cos  = -1

Odp.      a) x =  + 3k lub x =  + 3k, k  C

                b) x = 2 + 6k lub x = -2 - 6k, k  C