Prędkość w ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym

Do tej pory rozważaliśmy ruch, w którym prędkość ciała się nie zmieniała. Teraz będziemy rozważać ruch, w którym taka zmiana następuje. W tym celu wprowadźmy pojęcie przyspieszenia – jest to stosunek zmiany wektora prędkości do przedziału czasu, w którym ta zmiana nastąpiła.

gdzie:

 – zmiana wektora prędkości,

 – przedział czasu, w którym nastąpiła zmiana wektora prędkości.

Jednostką przyspieszenia jest .

Podobnie jak to miało miejsce w przypadku prędkości, tak i tutaj wyróżniamy przyspieszenie średnie, czyli iloraz całkowitej zmiany prędkości ciała i czasu, w którym ta zmiana nastąpiła oraz przyspieszenie chwilowe – analogiczny iloraz, przy czym rozważany przedział czasu jest jak najkrótszy (definicyjnie dąży do zera). Stąd przyspieszenie średnie to:

a przyspieszenie chwilowe to:

Ponownie, skoro ruch odbywa się wzdłuż jednej prostej (np. osi X), to możemy wyznaczyć x-ową współrzędną zarówno przyspieszenia średniego:

oraz przyspieszenia chwilowego:

Podobnie jak to miało miejsce w przypadku przemieszczenia i prędkości, tak i tutaj możemy zamiast „współrzędna wektora przyspieszenia wynosi ” zapisać w uproszczeniu, że „przyspieszenie wynosi ”. Wiemy, że oznacza to wówczas, iż ciało posiadało przyspieszenie o wartości (bezwzględnej) równej , tyle, że było ono zwrócone przeciwnie do zwrotu osi, wzdłuż, której odbywał się ruch ciała.

Przykład 1:

Poniżej przedstawiono wykres zależności prędkości (x-owej współrzędnej) samochodu od czasu. Samochód ten najpierw ruszył z pewnym przyspieszeniem do przodu, po osiągnięciu pewnej prędkości poruszał się z nią przez pewien czas, następnie rozpoczął hamowanie aż do całkowitego zatrzymania się, pozostawał następnie w spoczynku przez pewien czas, a w ostatnim etapie ruszył z pewnym przyspieszeniem w przeciwną stronę. Łącznie ruch składał się z pięciu etapów.

Oblicz przyspieszenie samochodu (jego x-ową współrzędną) w każdym z etapów.

Rozwiązanie:

Dla każdego z etapów korzystamy z definicji przyspieszenia:

Etap I: 

Etap II:

Etap III:

Etap IV:

Etap V:

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny to ruch, w którym przyspieszenie jest stałe (). W tym ruchu przyspieszenia średnie chwilowe są tożsame, z ich definicji wiemy zatem, że (ruch odbywa się wzdłuż jednej prostej, korzystamy zatem ze współrzędnej przyspieszenia):

gdzie:  to kolejno prędkość początkowa i końcowa ciała, a  to kolejno chwila początkowa i chwila końcowa.

Przyjmijmy, że , , ,  i wyznaczmy z powyższego równania prędkość końcową :

Stąd:

Jest to wzór na prędkość w ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym w zależności od czasu. Zauważmy, że zależność prędkości ciała  od czasu  jest funkcją liniową (analogiczna była zależność  w ruchu jednostajnym prostoliniowym), a zatem wykres zależności  w ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym jest linią prostą. Współczynnikiem kierunkowym jest przyspieszenie ciała , a wyrazem wolnym jest początkowa prędkość .

Ponieważ współczynnikiem kierunkowym jest przyspieszenie, to im większa jest wartość bezwzględna przyspieszenia, tym większe jest nachylenie wykresu zależności  do osi poziomej. Dla  otrzymujemy funkcję malejącą.

Jeśli zwroty prędkości i przyspieszenia są zgodne, to ciało przyspiesza (zwiększa wartość swojej prędkości). Jeśli zwroty prędkości i przyspieszenia są przeciwne, to ciało zwalnia.

Przykład 2:

Na poniższym rysunku przedstawiono zależność prędkości (x-owej współrzędnej) pewnego ciała od czasu. Oblicz przyspieszenie tego ciała (jego x-ową współrzędną). Zapisz równanie opisujące zależność prędkości tego ciała od czasu (zależność ). Zakładając, że ciało ciągle porusza się z takim samym przyspieszeniem, oblicz prędkość tego ciała po upływie 14 s.

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy, że prędkość początkowa ciała wynosiła .

Następnie zauważamy, że po upływie  prędkość ciała wynosiła . Stąd obliczamy przyspieszenie ciała:

Stąd, możemy już zapisać zależność  dla tego ciała:

Aby obliczyć prędkość ciała po upływie 14 s, należy do powyższej zależności wstawić :

Zadania do zrobienia:

1. Na poniższym rysunku przedstawiono zależność prędkości (x-owej współrzędnej) pewnego ciała od czasu.

a) Oblicz średnie przyspieszenie tego ciała (jego x-ową współrzędną) w całym czasie trwania jego ruchu.

b) Oblicz przyspieszenie chwilowe ciała (x-ową współrzędną) w chwili .

Odp.:

a)

b)

Spadek swobodny i rzut pionowy

Każde ciało posiadające masę znajdujące się blisko powierzchni Ziemi posiada stałe przyspieszenie zwrócone pionowo w dół (do środka Ziemi), wynikające z oddziaływania grawitacyjnego między tym ciałem a Ziemią. Jest to tzw. przyspieszenie grawitacyjne lub przyspieszenie ziemskie i oznaczamy je najczęściej symbolem . Ma ono stałą wartość: . Jeśli przyjmiemy, że zwrot osi, wzdłuż której odbywa się ruch jest w górę, to ciało będzie posiadało przyspieszenie  (zwrot przyspieszenia jest wówczas przeciwny do zwrotu osi). Jeśli przyjmiemy, że oś zwrócona jest w dół, to przyspieszenie jest równe .

Na rysunku poniżej (Rys. 1.) przedstawiono trzy wykresy zależności  dla ciała, które kolejno:

1. zostało upuszczone z pewnej wysokości (spadek swobodny)

2. zostało rzucone w dół z pewną prędkością początkową (rzut pionowy w dół)

3. zostało podrzucone w górę z pewną prędkością początkową (rzut pionowy w górę)

Przyjęto, że oś wzdłuż, której odbywa się ruch ciała jest zwrócona w górę.

Rys. 1.

Zauważamy, że we wszystkich przypadkach nachylenie wykresu do poziomu jest takie samo, ponieważ przyspieszenie ciała we wszystkich przypadkach jest identyczne (jest to przyspieszenie grawitacyjne). Warto nadmienić, że w trzecim przypadku współrzędna prędkości ciała najpierw jest dodatnia (oznacza to, że prędkość zwrócona jest w górę) i maleje, w chwili  osiąga zero (ciało osiąga maksymalną wysokość i się zatrzymuje), a następnie jest ujemna i dalej maleje (prędkość zwrócona jest już w dół,  ciało spada osiągając coraz większą wartość prędkości).

Położenie i droga w ruchu jednostajnie zmiennym

Poniżej przedstawiono wykres zależności  dla pewnego ciała (Rys. 2.).

Rys. 2.

Pole prostokąta  możemy zapisać jako:  i jednocześnie zgodnie z definicją prędkości jest to wzór na zmianę położenia ciała: , czyli . Widzimy zatem, że pole pod wykresem zależności  jest równe zmianie położenia ciała. W przypadku pola  stwierdzamy, że jego wartość jest oczywiście dodatnia, ale wiemy, że w tym etapie przemieszczenie ciała jest ujemne (ponieważ zwrot prędkości jest przeciwny do zwrotu osi, wzdłuż której porusza się ciało). A zatem możemy zapisać, że: . A zatem całkowite przemieszczenie ciała wynosi: . Takie rozumowanie można uogólnić na przypadek dowolnej liczby etapów ruchu. Możemy zatem stwierdzić, że całkowite przemieszczenie ciała w ruchu prostoliniowym jest równe polu pod wykresem zależności  dla tego ciała, przy czym dla fragmentów wykresu znajdujących się poniżej osi , odpowiednie pola wliczamy ze znakiem minus.

W przypadku ruchu jednostajnie zmiennego, wykres zależności  jest prostą (patrz Rys. 3.), a zatem przemieszczenie ciała możemy obliczyć jako pole trapezu pod tą prostą (jest to jednocześnie suma pola prostokąta i pola trójkąta). Toteż:

Rys. 3.

Przyjmując, że w chwili początkowej  ciało znajdowało się w położeniu , to jego położenie  po upływie czasu  wynosi:

Widzimy, że zależność  w ruchu jednostajnie zmiennym jest funkcją kwadratową. Jej wykresem jest zatem parabola.

Zwróćmy uwagę na fakt, że w powyższym wzorze występują współrzędne położenia, prędkości i przyspieszenia, mogą one zatem być dodatnie lub ujemne (to zależy od tego czy związane z nimi wektory mają zwroty zgodne czy też przeciwne do osi, wzdłuż której dane ciało wykonuje ruch).

Jeśli interesuje nas droga przebyta przez ciało, to w przypadku, w którym ciało nie zawraca (nie zmienia zwrotu wektora prędkości), jest ona równa wartości bezwzględnej zmiany położenia. Gdy ciało zawraca, to należy osobno obliczyć drogi przebyte w różne strony i dodać je do siebie.

Przykład 1:

Przyjmijmy, że pewne ciało poruszało się ruchem jednostajnie przyspieszonym, a wykres zależności prędkości tego ciała od czasu został przedstawiony na wcześniejszym Rys. 3. Niech początkowa prędkość ciała wynosi , czas trwania ruchu to 12 s, przyspieszenie ciała to , a jego początkowe położenie wynosi .

a) Oblicz końcową prędkość ciała.

b) Oblicz końcowe położenie ciała.

c) Oblicz drogę przebytą przez ciało.

Rozwiązanie:

a) Końcową prędkość obliczamy ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym:

b) Końcowe położenie ciała obliczamy wykorzystując wzór na zależność  w ruchu jednostajnie zmiennym:

A zatem:

c) Ponieważ w tym przypadku ciało nie zawraca, to przebyta przez nie droga jest równa wartości bezwzględnej zmiany położenia. Zatem:

Przykład 2:

Pewien uczeń stojąc na balkonie podrzucił pionowo w górę piłeczkę, nadając jej początkową prędkość o wartości . W chwili wyrzutu piłka znajdowała się na wysokości  nad ziemią. Pomiń opory ruchu. Przyjmij wartość przyspieszenia grawitacyjnego .

a) Oblicz po jakim czasie piłeczka osiągnie maksymalną wysokość.

b) Oblicz maksymalną wysokość jaką osiągnie piłeczka.

c) Oblicz wartość prędkości piłeczki tuż przed uderzeniem w ziemię.

d) Naszkicuj wykres zależności wysokości piłeczki nad ziemią od czasu ().

Rozwiązanie:

Zapiszmy na początek równanie opisujące zależność wysokości piłeczki nad ziemią od czasu:  

a) Aby znaleźć czas, po którym piłeczka osiągnie maksymalną wysokość możemy wyznaczyć wierzchołek paraboli, która opisuje zależność wysokości piłeczki od czasu.

A zatem:

b) Maksymalną wysokość obliczymy podstawiając czas  do zależności :

c) Od momentu osiągnięcia maksymalnej wysokości do momentu uderzenia w ziemię piłeczka spada swobodnie. Możemy zatem wartość jej prędkości końcowej zapisać jako: , gdzie  to czas spadku. z kolei drogę przebytą podczas spadania możemy zapisać jako: . Z drugiego wzoru wyznaczmy czas  i wstawmy go do wzoru na prędkość końcową:

d) Przed naszkicowaniem wykresu znajdźmy jeszcze czas, po którym piłeczka uderzyła w ziemię. Ze wzoru w poprzednim podpunkcie widzimy, że: .

Jest to czas opadania piłeczki, a zatem czas jej uderzenia w ziemię to

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz drogę jaką przebędzie ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie 5 s, jeśli jego prędkość początkowa jest zerowa, a końcowa wartość prędkości to .

Odp.:

2. Oblicz końcową wartość prędkości ciała, które poruszało się ruchem jednostajnie przyspieszonym i w czasie 10 s przebyło drogę równą 100 m. Jego prędkość początkowa była zerowa.

Odp.:

3. Początkowa wartość prędkości ciała wynosi , ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym i po pewnym czasie  osiąga prędkość o wartości . Przyspieszenie ciała wynosi . Oblicz czas . Oblicz drogę jaką przebędzie to ciało w czasie .

Odp.: ,

4. Oblicz z jakim opóźnieniem poruszał się narciarz, którego prędkość początkowa wynosiła  i który zatrzymał się po pokonaniu drogi równej 50 m.

Odp.:

5. Oblicz z jakiej wysokości musiałoby spaść ciało, aby tuż przed uderzeniem w ziemię osiągnęło prędkość o wartości . Pomiń opory ruchu. Przyjmij .

Odp.:

6. Oblicz na jaką maksymalną wysokość wzniesie się ciało rzucone pionowo w górę (z początkowej zerowej wysokości) z początkową wartością prędkości . Pomiń opory ruchu. Przyjmij .

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz dwa płatne (po 60 zł każde) dwugodzinne nagrania z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-kinematyka

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-kinematyka-dynamika