Jednym z najbardziej podstawowych ruchów krzywoliniowych jest ruch jednostajny po okręgu. Jest to ruch, w którym torem jest okrąg, a ciało porusza się z prędkością o stałej wartości.

Wektor prędkości jest w każdym momencie ruchu styczny do toru ruchu i jednocześnie prostopadły do promienia okręgu poprowadzonego ze środka okręgu do punktu, w którym znajduje się w danym momencie ciało. Wartość prędkości jest stała w czasie, ale ciągle zmienia się jej kierunek i zwrot, dlatego prędkość jako wektor się zmienia.

W opisie ruchu po okręgu często wygodne jest użycie tzw. prędkości kątowej (w odróżnieniu od „zwykłej” prędkości, którą nazywamy prędkością liniową). Prędkość kątowa  jest stosunkiem kąta  jaki zakreśliło dane ciało w ruchu po okręgu i przedziału czasu , w którym zakreślony został ten kąt (patrz Rys. 1.).

Jednostką prędkości kątowej jest  (radian na sekundę).

Rys. 1.

Okres i częstotliwość

Wielkościami przydatnymi do opisu ruchu jednostajnego po okręgu są okres  i częstotliwość . Okres to czas wykonania jednego obiegu okręgu. Częstotliwość jest odwrotnością okresu, mówi więc o tym ile obiegów okręgu w jednostce czasu wykonuje ciało poruszające się po okręgu. Można zatem zapisać następujące zależności między tymi wielkościami:

   oraz 

Jednostką okresu jest , jednostką częstotliwości jest  (herc).

W czasie jednego okresu  ciało pokonuje drogę równą obwodowi okręgu, czyli , gdzie  to promień okręgu. A zatem wartość prędkości liniowej tego ciała można zapisać jako (iloraz drogi i czasu):

Jednocześnie w czasie jednego okresu ciało zakreśla kąt równy , toteż prędkość kątową tego ciała można zapisać jako:

   lub 

gdzie  to częstotliwość.

Na podstawie powyższych wzorów można zapisać zależność pomiędzy prędkością liniową i prędkością kątową w ruchu jednostajnym po okręgu:

Ruch zmienny po okręgu

W ruchu jednostajnym po okręgu średnia i chwilowa prędkość kątowa są tożsame. Jeśli mamy do czynienia z niejednostajnym ruchem po okręgu (takim, w którym wartość prędkości liniowej, a co za tym idzie również prędkości kątowej, ulega zmianie), to zasadne jest rozróżnienie chwilowej prędkości kątowej – poprzez analogię obliczamy ją w ten sam sposób, przy czym dążymy z przedziałami czasu do jak najmniejszej wartości. A zatem chwilowa prędkość kątowa to:

Wielkością, która opisuje to jak zmienia się prędkość kątowa jest tzw. przyspieszenie kątowe . Jest to stosunek zmiany prędkości kątowej do przedziału czasu, w którym ta zmiana nastąpiła:

Jednostką przyspieszenia kątowego jest .

Przykład 1:

Przyjmijmy, że mamy zegar, którego wskazówka minutowa ma długość 25 cm, a wskazówka godzinowa ma długość 10 cm. Załóżmy, że obie wskazówki poruszają się „płynnym” ruchem.

a) Podaj okres i częstotliwość w ruchu po okręgu końca wskazówki minutowej.

b) Oblicz prędkość liniową i prędkość kątową końca wskazówki minutowej.

c) Oblicz stosunek prędkości liniowych końca wskazówki godzinowej i minutowej. Oblicz również analogiczny stosunek prędkości kątowych.

Rozwiązanie:

a) Okres to czas trwania jednego pełnego obiegu, a zatem dla wskazówki minutowej wynosi on . Częstotliwość to odwrotność okresu, zatem:

b) Prędkość kątową wskazówki minutowej obliczymy jako: . Prędkość liniowa końca wskazówki minutowej to:

c) Aby obliczyć szukany stosunek należy najpierw wyznaczyć okres dla wskazówki godzinowej, jest on równy: . A zatem stosunek prędkości kątowych wskazówki godzinowej i minutowej wynosi:

Stosunek prędkości liniowych:

Przykład 2:

Karuzela kręciła się początkowo wykonując 1 obrót w czasie 4 sekund. Następnie zaczęła przyspieszać swoje obroty, tak że po upływie 6 s ciągłego przyspieszania wykonywała już 3 obroty w czasie 4 sekund. Oblicz przyspieszenie kątowe karuzeli w czasie przyspieszania.

Rozwiązanie:

Aby obliczyć przyspieszenie kątowe korzystamy z jego definicji: . Na początek obliczmy jaką prędkość kątową miała karuzela przed i po przyspieszeniu. Przed przyspieszeniem karuzela wykonywała 1 obrót w czasie czterech sekund, oznacza to, że zakreślała kąt o mierze  w czasie 4 s. A zatem jej początkowa prędkość kątowa wynosiła: . Analogicznie końcowa prędkość kątowa karuzeli to: . Stąd możemy już obliczyć przyspieszenie kątowe:

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz wartość prędkości liniowej obrzeża tarczy szlifierskiej, której średnica wynosi 30 cm. Tarcza wykonuje 6000 obrotów na minutę.

Odp.:

2. Oblicz częstotliwość z jaką obracają się koła samochodu, który porusza się z prędkością o wartości . Promienie kół są równe 30 cm.

Odp.:

3. Krążek obracał się początkowo wokół własnej osi ze stałą prędkością kątową. Okres obrotu krążka wynosił . Następnie krążek zaczął wyhamowywać swoje obroty, tak, że po upływie czasu  okres obrotu w jego ruchu obrotowym wynosił już . Wiedząc, że wartość bezwzględna przyspieszenia (opóźnienia) kątowego krążka podczas jego hamowania wynosiła , oblicz czas hamowania krążka  .

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-dynamika-1