Definicja przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym jest dokładnie taka sama jak w przypadku ruchu prostoliniowego, a zatem przyspieszeniem średnim  nazywamy stosunek wektora zmiany prędkości  do przedziału czasu , w którym ta zmiana nastąpiła:

Gdy , to otrzymujemy przyspieszenie chwilowe.

Jest jednak pewna różnica między przyspieszeniem w ruchu prostoliniowym a przyspieszeniem w ruchu krzywoliniowym. W pierwszym przypadku przyspieszenie ma ten sam kierunek co prędkość, powoduje ono zatem jedynie zmiany wartości prędkości (i ewentualnie zmiany jej zwrotu, ale nie kierunku). W ruchu krzywoliniowym przyspieszenie nie musi mieć tego samego kierunku co prędkość, wobec czego może powodować zarówno zmiany wartości prędkości, jak i jej kierunku.

W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie powoduje jedynie zmianę kierunku (i zwrotu) wektora prędkości, bez zmiany jego wartości (wartość prędkości w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała).

Na Rys. 1. przedstawiono dwa kolejne położenia ciała (punkty A i B) poruszającego się jednostajnie po okręgu o środku w punkcie O. Aby wyznaczyć średnie przyspieszenie tego ciała w przedziale czasu pomiędzy tymi dwoma położeniami musimy znaleźć wektor zmiany prędkości . Należy w tym celu odjąć od siebie wektory prędkości ciała w punktach B i A. Z definicji przyspieszenia średniego wiemy, że wektor przyspieszenia średniego  ma taki sam kierunek i zwrot jak wyznaczony wektor zmiany prędkości  – z rysunku możemy zauważyć, że jest on w przybliżeniu zwrócony do środka okręgu. Im bardziej będziemy zmniejszali rozpatrywany przedział czasu , tym dokładniej wektor , a co za tym idzie wektor , będzie zwrócony do środka okręgu. W końcu gdy , otrzymany wektor przyspieszenia będzie zwrócony dokładnie do środka okręgu, a wówczas jest to już wektor przyspieszenia chwilowego.

Rys. 1.

A zatem wektor przyspieszenia chwilowego w ruchu jednostajnym po okręgu jest zwrócony do środka okręgu. Nazywamy wówczas to przyspieszenie przyspieszeniem dośrodkowym i najczęściej oznaczamy jako .

Wartość przyspieszenia dośrodkowego

Przyjrzyjmy się powyższemu rysunkowi jeszcze raz. Możemy zauważyć, że po przesunięciu wektora  w taki sposób, aby jego początek pokrywał się z początkiem wektora  otrzymujemy trójkąt złożony z tych dwóch wektorów oraz wektora zmiany prędkości . Ponadto mamy jeszcze drugi trójkąt złożony z odcinków OA, OB i AB. Kąt pomiędzy ramionami OA i OB w jednym trójkącie oraz kąt pomiędzy wektorami  i  w drugim trójkącie jest taki sam, ponadto oba te trójkąty są równoramienne, więc są one do siebie podobne. Wobec tego, możemy zapisać, że (przyjmujemy oznaczenia, że  oraz ):

Podstawmy to do definicji przyspieszenia:

Gdy , iloraz  jest równy prędkości chwilowej , a zatem otrzymujemy następujący wzór na wartość przyspieszenia dośrodkowego:

gdzie:  – wartość prędkości liniowej ciała,  – promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Ponieważ , to powyższy wzór można jeszcze zapisać w alternatywnej postaci:

Jednostką przyspieszenia dośrodkowego jest .

Przykład 1:

Samochód porusza się po rondzie o promieniu 16 m z prędkością o stałej wartości równej . Oblicz prędkość kątową samochodu, jego okres i częstotliwość w ruchu po okręgu oraz wartość jego przyspieszenia dośrodkowego.

Rozwiązanie:

Prędkość kątową obliczymy znając zależność między prędkością liniową i kątową:

Wiedząc, że  obliczamy okres i częstotliwość:

Przyspieszenie dośrodkowe:

Przykład 2:

Tarcza obraca się wykonując 1600 obrotów na minutę, a jej promień wynosi 40 cm. Podaj, który punkt na tarczy posiada największe przyspieszenie dośrodkowe i oblicz wartość tego przyspieszenia.

Rozwiązanie:

Należy zauważyć, że każdy punkt obracającej się tarcz (z wyjątkiem samego jej środka) wykonuje ruch obrotowy z taką samą prędkością kątową. Wiedząc, że przyspieszenie dośrodkowe możemy zapisać jako: , widzimy, że dla stałej  największe przyspieszenie dośrodkowe będą miały punkty o największym promieniu , czyli te, które znajdują się na samym brzegu tarczy.

Aby obliczyć wartość tego przyspieszenia, obliczmy najpierw prędkość kątową tarczy:

Stąd możemy policzyć szukane przyspieszenie dośrodkowe:

Zadania do zrobienia:

1. Cząstka krąży po okręgu o promieniu 5 m z prędkością o stałej wartości . Jaka jest wartość przyspieszenia dośrodkowego cząstki?

Odp.:

2. Profesjonalny piłkarz może kopiąc w piłkę podkręcić ją w taki sposób, że ta wykonuje 6 obrotów na sekundę. Obwód piłki wynosi 68 cm. Oblicz wartość przyspieszenia dośrodkowego jakiego doznaje punkt znajdujący się na obwodzie piłki.

Odp.:

Przyspieszenie w ruchu zmiennym po okręgu

Ciało może poruszać się po okręgu z prędkością o zmiennej wartości, mamy wówczas do czynienia z ruchem zmiennym po okręgu. W takiej sytuacji, podobnie jak w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, za zmianę kierunku (i zwrotu) wektora prędkości ciała odpowiada jego przyspieszenie dośrodkowe. Natomiast  w tym przypadku dodatkowo za zmianę wartości prędkości tego ciała odpowiada jego przyspieszenie styczne . Kierunek przyspieszenia stycznego jest jak sama nazwa wskazuje styczny do okręgu.

W takiej sytuacji ciało posiada całkowite przyspieszenie , które jest sumą wektorową przyspieszenia dośrodkowego  i przyspieszenia stycznego :

Rys. 2.

W tej sytuacji wektor przyspieszenia całkowitego, będąc sumą wektorową wektorów przyspieszenia stycznego i dośrodkowego jest wektorem zwróconym do wnętrza okręgu, ale nie dokładnie do jego środka.

Przykład 1:

Cząstka porusza się po okręgu o promieniu równym 4 m. Wartość jej prędkości zmieniała się w zależności od czasu zgodnie ze wzorem: . Oblicz wartości następujących wielkości w chwili :

a) przyspieszenia stycznego

b) przyspieszenia dośrodkowego

c) przyspieszenia całkowitego

Rozwiązanie:

a) Wiemy, że przyspieszenie styczne odpowiada jedynie za zmianę wartości prędkości ciała. Możemy zatem je wyznaczyć znając zależność wartości prędkości cząstki od czasu. Widzimy, że zależność ta odpowiada ruchowi jednostajnie zmiennemu (), w którym to ruchu przyspieszenie, stojące w zależności  przy zmiennej , jest stałe – tu mamy na myśli stałą wartość właśnie przyspieszenia stycznego, zatem .

b) Aby obliczyć wartość przyspieszenia dośrodkowego musimy najpierw obliczyć wartość prędkości ciała po upływie 2 s:

Następnie obliczamy przyspieszenie dośrodkowe:

c) Przyspieszenie całkowite jest sumą wektorową przyspieszenia stycznego i dośrodkowego, które to przyspieszenia są do siebie prostopadłe, więc wartość przyspieszenia całkowitego obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:

Zadania do zrobienia:

1. Pewne ciało porusza się po okręgu o promieniu 8 m. Wartość jego początkowej prędkości wynosi . W wyniku posiadania przyspieszenia stycznego o wartości  ciało zwiększa wartość swojej prędkości, przy czym dalej porusza się po takim samym okręgu. Oblicz wartości następujących wielkości po upływie 4 s ruchu:

a) prędkości liniowej

b) prędkości kątowej

c) przyspieszenia dośrodkowego

d) przyspieszenia całkowitego

Odp.:

a)

b)

c)

d)

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-dynamika-1