Spadające swobodnie lub zsuwające się z równi pochyłej (lub wykonujące inny rodzaj ruchu) ciało może wykonywać pracę. Przykładem takiej sytuacji może być spadająca piłka, która po odbiciu może wznieść się na pewną wysokość, co wymaga od niej wykonania pracy, czy też kulka, która po stoczeniu się z równi pochyłej może pokonać jeszcze pewną drogę, co także wymaga od niej wykonania pracy.

Rozważmy teraz jaka praca jest potrzebna do podniesienia ciała w następujących dwóch przypadkach:

a) pionowe podnoszenia ciała ze stałą prędkością

Aby podnieść w ten sposób ciało musimy działać na nie siłą równą co do wartości jego ciężarowi  – mamy wówczas do czynienia z tzw. Powolnym podnoszeniem – na drodze równej wysokości, na którą chcemy podnieść dane ciało (drogę tę oznaczmy jako ). Stąd możemy wyprowadzić wzór na pracę w tej sytuacji:

b) wciąganie ciała na równię pochyłą

Aby wciągnąć ciało na równię musimy działać na nie siłą równą wartości siły , która jest składową ciężaru ciała równoległą do równi. Jej wartość możemy w prosty sposób wyprowadzić poprzez kąt nachylenia równi do poziomu , a następnie poprzez długość równi  i jej wysokość :

A zatem praca wykonana w tej sytuacji (długość równi  jest w tym przypadku jednocześnie przebytą przez ciało drogą) to:

Z podanych przykładów możemy wywnioskować, że w przypadku pracy wykonywanej w polu grawitacyjnym (tu: ziemskim) praca nie zależy od sposobu przemieszczania się ciała. Wykonywana praca jest natomiast w tej sytuacji zależna tylko od masy ciała oraz zmiany jego wysokości.

Kiedy ciało może wykonywać pewną pracę, to mówimy, że ma ono energię. W przypadku, gdy ciało wykonuje pracę, jego energia się zmniejsza, a gdy jakaś praca jest wykonywana nad tym ciałem, jego energia się zwiększa.

Zmiana energii ciała wynikająca z wykonania pracy jest równa tej pracy:

Nad ciałem możemy wykonywać pracę dodatnią (np. pchając auto w kierunku jego ruchu), tym samym zwiększając jego energię  lub wykonywać pracę ujemną (np. zatrzymując rozpędzone auto). W tej drugiej sytuacji energia auta się zmniejsza (), ponieważ wykonana praca jest ujemna: .

Energia potencjalna grawitacji

Z powyższych rozważań możemy wywnioskować, że gdy przemieszczamy ciało na pewną wysokość  (zaczynając od zerowej wysokości), musimy wykonać pracę . Z tego natomiast wynika, że wzrasta energia tego ciała. Energię związaną z wysokością, na której znajduje się ciało (a ogólniej rzecz ujmując jest to energia zależna od odległości tego ciała od Ziemi wynikająca z siły wzajemnego przyciągania grawitacyjnego między tym ciałem a Ziemią) nazywamy energią potencjalną grawitacji (oznaczamy ją często jako ). W opisywanym przypadku podnoszenia ciała z zerowej wysokości na wysokość  wzrasta zatem energia potencjalna (grawitacji) tego ciała i to dokładnie o wartość wykonanej pracy, a zatem: .

Energia potencjalna grawitacji jest zależna jest tylko i wyłącznie od wzajemnego położenia ciał. Energia potencjalna grawitacji to energia związana z wysokością, na której znajduje się ciało (w ogólnym przypadku z odległością ciała od Ziemi).

Jeżeli chcemy wyznaczyć dokładnie wartość energii potencjalnej danego ciała, musimy wpierw ustalić poziom odniesienia, względem, którego będziemy określać zmianę wysokości tego ciała. Dopiero wtedy możliwe jest wykorzystanie wzoru , gdzie  oznacza wysokość ciała nad przyjętym poziomem odniesienia.

Gdy mówimy bowiem o energii potencjalnej grawitacji, to nie mówimy tak naprawdę o energii konkretnego ciała, a o energii układu ciał, jaki to ciało tworzy z Ziemią. Ma to duże znaczenie w kwestii poprawnego zrozumienia zasady zachowania energii.

Energia kinetyczna

Jeżeli chcemy wprawić ciało w ruch, musimy wykonać nad nim pewną pracę. Ciało to, gdy posiada jakąś niezerową prędkość, może samo wykonać pracę, co spowoduje zmniejszenie jego prędkości. Możemy z tego wywnioskować, że ciało w ruchu będzie miało pewną energię, którą nazywamy energią kinetyczną i wyrażamy następująco:

gdzie  to masa ciała,  to prędkość ciała, a  to energia kinetyczna tego ciała.

Zastanówmy się teraz skąd bierze się powyższy wzór. Jeżeli chcemy rozpędzić spoczywające ciało o masie  do prędkości  musimy działać na nie siłą o wartości . Możemy tutaj skorzystać z II zasady dynamiki Newtona: . Droga, którą przebędzie to ciało jest równa . Zauważmy również, że rozpędzamy ciało od stanu spoczynku, wobec tego: . Podstawiając te wzory pod wzór na pracę wykonaną nad rozpatrywanym ciałem otrzymujemy:

Jak wcześniej stwierdziliśmy, energia kinetyczna uzyskana przez ciało jest równa pracy wykonanej nad tym ciałem podczas jego rozpędzania. Z tego wynika, że:

Sprawdźmy teraz jakie przemiany energii zachodzą, gdy ciało spada z wysokości . Od chwili puszczenia go, ciało w czasie  przebywa drogę równą , a wysokość ciała zmniejsza się o wartość powyższej drogi, a zatem można zapisać, że różnica wysokości ciała pomiędzy jego położeniem końcowym i początkowym wynosi .

Jak wiemy energia potencjalna jest zależna od wysokości, a z tego wynika, że zmiana tej energii jest równa: .  Skoro ciało jest początkowo w stanie spoczynku i po czasie  jego prędkość będzie równa ,  to zmiana energii potencjalnej będzie następująca: . Z kolei przyrost energii kinetycznej wyrazimy wzorem: .

Możemy zauważyć zatem, że energia kinetyczna wzrosła o tyle, o ile zmniejszyła się energia potencjalna. W takim przypadku mówimy, że energia potencjalna zmieniła się w kinetyczną.

Energia mechaniczna

Energia mechaniczna to suma energii kinetycznej i potencjalnej: . Energia mechaniczna przy spadku swobodnym nie ulega zmianie, czyli jest zachowana.

Przemiany energii w spadku swobodnym obrazują zasadę zachowania energii. W układzie izolowanym całkowita energia wszystkich ciał nie ulega zmianie, może zmieniać się jedynie jej forma:

Układ izolowany to układ, w którym ciała oddziałują tylko i wyłącznie między sobą, a nie oddziałują z ciałami spoza tego układu.

Szczególnym przypadkiem zasady zachowania energii jest zasada zachowania energii mechanicznej, która mówi, że jeśli dane ciało podlega działaniu siły zachowawczej, to jego energia mechaniczna jest stała. Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad ciałem, które porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru, czyli owa praca nie zależy od toru i drogi przebytej przez dane ciało, ale tylko od jego początkowego i końcowego położenia. Przykładowo wszelkie siły centralne (siła grawitacji, siła elektryczna), siła sprężystości itp. Są siłami zachowawczymi. Siłami niezachowawczymi są np. opór powietrza, tarcie – w przypadku gdy te siły działają na dane ciało, to jego energia mechaniczna nie jest zachowana.

Zasada zachowania energii mechanicznej może być bardzo przydatna w rozwiązywaniu różnych zadań. Weźmy za przykład klocek zsuwający się ze śliskiej (tak śliskiej, że zaniedbujemy siłę tarcia) równi pochyłej o wysokości bez prędkości początkowej. Wówczas wykorzystując zasadę zachowania energii mechanicznej możemy w łatwy sposób obliczyć prędkość klocka na dole równi:

Można byłoby tę prędkość końcową wyprowadzić korzystając z praw mechaniki, ale byłby to bardziej skomplikowany i żmudny proces.

Sprawność

Energia nigdy nie znika, a jedynie zmienia swoją formę, ale podczas przemian energii tylko jej część zmienia się w użyteczne dla nas formy. Stosunek uzyskanej w jakimś procesie energii użytecznej () do energii całkowitej () to sprawność ():

Przykład 1:

Oblicz jaką pracę musi wykonać chłopiec podczas podnoszenia ciężarka o masie  na wysokość . Pomiń siły oporu i przyjmij .

Rozwiązanie:

Praca, którą musi wykonać będzie równa zmianie energii potencjalnej ciężarka:

Dokonujemy przekształcenia:

Przykład 2:

Auto sportowe o masie  ma hamulce tarczowe na wszystkich czterech kołach. Gdy hamuje, to o każdą tarczę trą klocki hamulcowe z dwóch stron. Oblicz siłę, którą każdy z klocków powinien naciskać na tarczę, aby samochód zatrzymał się na drodze . Jego początkowa prędkość to , promień koła to , a klocki trą o tarcze w odległości  od ich środków. Współczynnik tarcia klocka o tarczę to .

Rozwiązanie:

Obliczamy energię kinetyczną początkową samochodu:

Jeżeli chcemy zatrzymać auto, musimy zmniejszyć jego energię do zera, więc zmiana jego energii będzie wynosić: .

Ponieważ klocków hamulcowych jest 8 i zakładamy, że praca jest rozłożona na nie równomiernie, to każdy z nich będzie musiał wykonać pracę: . 

Klocek znajduje się od środka tarczy w odległości 3 razy mniejszej niż wynosi promień koła, co oznacza, że punkt na tarczy na wysokości klocka hamulcowego przebędzie 3 razy krótszą drogę niż punkt na obwodzie koła. To natomiast oznacza, że przebędzie 3 razy krótszą drogę niż samochód, więc możemy zapisać drogę przebytą przez klocek „po tarczy” jako .

Obliczmy teraz wartość siły tarcia potrzebnej do wykonania pracy :

Aby otrzymać siłę nacisku, korzystamy ze wzoru na zależność siły tarcia pomiędzy ciałami od siły nacisku na siebie tych ciał:

Zadania do zrobienia:

1. Chcemy podnieść ciało o masie  z wysokości  na wysokość . Pomijamy opory ruchu i przyjmujemy, że .

a) Oblicz, jaka jest minimalna praca, jaką musimy wykonać, aby to zrobić.

Odp.:

b) Oblicz energię potencjalną ciała w pierwszym oraz drugim położeniu względem podłoża (podłoże znajduje się na wysokości ).

Odp.: ,  

2. Rzucamy pionowo do góry kulkę o masie . Jej początkowa energia kinetyczna wynosi . Oblicz, po jakim czasie ta kulka powróci na Ziemię. Pomiń opory ruchu.

Odp.:

3. Chłopak rzucił ciało pionowo w gorę z szybkością .  Oblicz wysokość, na którą wzniesie się ciało.

Odp.:

4. Wiedząc, że energia kinetyczna może zostać zużyta na wykonanie pracy, oblicz drogę jaką przebędzie łyżwiarz do zatrzymania się, jeżeli jego prędkość początkowa wynosiła 10 m/s, a współczynnik tarcia łyżew o lód był równy f = 0,04.

Odp.:

5. Jaką drogę przebędzie ciało, któremu nadano prędkość początkową o wartości , poruszające się bez tarcia w górę równi pochyłej do momentu zatrzymania? Kąt nachylenia równi do poziomu wynosi .

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-dynamika-3