Podczas rozciągania sprężyny musimy wykonać pracę, a gdy ta sama sprężyna jest ściśnięta, to wówczas ona może wykonać pracę. Wynika z tego, że w rozciągniętej sprężynie jest zgromadzona energia, którą nazywamy energią potencjalną sprężystości.

Z obserwacji życia codziennego można zauważyć, że im bardziej odkształcamy (rozciągamy lub ściskamy) sprężynę, tym większej siły trzeba do tego użyć.

Okazuje się, że wartość siły  potrzebna do odkształcenia sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej odkształcenia (wydłużenia lub skrócenia) :

Gdzie  to współczynnik sprężystości, jego jednostką jest .

Ta zależność to prawo Hooke’a, które obowiązuje do momentu, aż ciało wydłuży się do określonej wartości granicznej, po przekroczeniu której siła nie jest już proporcjonalna do odkształcenia. Ostatecznie ciało może trwale się odkształcić, a wręcz ulec rozerwaniu.

Zależność wartości siły, z którą musimy działać podczas rozciągania (lub ściskania) sprężyny od jej odkształcenia przedstawiono na Rys. 1.

Rys. 1.

Dzięki niemu możemy obliczyć wykonaną pracę, ponieważ będzie ona równa polu pod wykresem:

Wiemy, że , a ponieważ energia nienapiętej sprężyny jest zerowa, to energia potencjalna sprężystości sprężyny odkształconej o  wynosi:

Z wyprowadzonego wzoru na energię potencjalną sprężystości możemy wywnioskować, że jest ona proporcjonalna do kwadratu odkształcenia, czyli np. 4 razy większemu odkształceniu sprężyny będzie odpowiadać 16 razy większa energia potencjalna sprężystości.

Przykład:

Worek o masie  przyczepiono do jednego końca rozciągliwej liny. Jej drugi koniec przymocowano na wysokości  nad ziemią, a następnie worek zrzucono w dół. Długość nierozciągniętej liny wynosiła . Po zrzuceniu worka lina się rozciągnęła, następnie worek zaczął wykonywać okresowy ruch w górę i dół, podczas którego lina rozciągała się to bardziej, to mniej. Ostatecznie koniec liny z workiem zawisł na wysokości  nad ziemią. Oblicz, na jakiej minimalnej wysokości nad ziemią znalazł się koniec liny wraz z workiem podczas całego ruchu worka. Pomiń opory ruchu oraz masę liny i przyjmij

Rozwiązanie:

W ostatecznej pozycji siła sprężystości równoważyła ciężar worka równy , a więc wtedy gdy jej koniec z workiem znajdował się na wysokości . Wówczas wydłużenie liny wynosiło , a z tego możemy obliczyć współczynnik sprężystości liny:

Rozpatrzmy teraz energię worka w chwili maksymalnego wydłużenia liny i tuż przed zrzuceniem go. Energia kinetyczna nie zmieniła się (), ponieważ w obu tych momentach prędkość worka była równa zeru.

Maksymalne wydłużenie liny oznaczmy jako , a to oznacza, że zmiana wysokości jest równa: . A zatem zmiana energii potencjalnej worka to .

Jeśli chodzi o zmianę energii potencjalnej sprężystości liny, to jej zmiana wynosi . Na podstawie zasady zachowania energii zapisujemy równanie:

Po podstawieniu do powyższego wzoru danych liczbowych wyrażonych w jednostkach układu SI otrzymujemy:

Drugie rozwiązanie jest ujemne, więc je odrzucamy i stwierdzamy, że . To oznacza, że w chwili największego wydłużenia liny jej długość wynosiła 101,9 m, więc jej koniec wraz z workiem znajdował się wówczas 8,1 m nad ziemią.

Zadania do zrobienia:

1. Pod działaniem siły o wartości  sprężyna zostaje rozciągnięta o 0,2 cm. Oblicz wartość prędkości jaką uzyskałoby ciało o masie 0,1 kg, gdyby energię potencjalną sprężystości tej sprężyny rozciągniętej o 4 cm zamienić na energię kinetyczną tego ciała.

Odp.: