Bryła sztywna to ciało fizyczne, w którym odległości pomiędzy poszczególnymi punktami nie zmieniają się, nawet jeśli na to ciało działają siły zewnętrzne.

Bryłę sztywną traktuje się zatem jako zbiór punktów materialnych, każdy o określonej masie (m₁, m₂, m₃,...). Może to być ciało o określonym kształcie, takie jak walec, kula, sześcian, lub inna bryła o mniej foremnym kształcie.

Ruch postępowy bryły sztywnej to ruch, podczas którego nie zmienia się orientacja bryły w przestrzeni, np. piłeczka (nieobracająca się) puszczona swobodnie z pewnej wysokości porusza się właśnie ruchem postępowym. W dowolnej chwili wektory prędkości (chwilowej) poszczególnych punktów są jednakowe, dlatego badanie takiego ruchu można sprowadzić do badania jednego dowolnie wybranego punktu należącego do bryły (Rys. 1.).

Rys. 1.

Ruch obrotowy bryły sztywnej to ruch, podczas którego punkty materialne należące do bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na osi obrotu.

W zależności od odległości poszczególnych punktów od osi obrotu, ich prędkości liniowe mają różną wartość – im większa odległość punktu od osi obrotu, tym większa jego prędkość liniowa (Rys. 2.) – zależność ta będzie dokładnie przedstawiona w kolejnych akapitach.

Rys. 2.

Wszystkie punkty bryły nieleżące na osi obrotu dokonują jednego obiegu wokół tej osi w takim samym czasie. Oznacza to, że okres obiegu  wszystkich punktów bryły sztywnej wokół osi jest jednakowy.  Wynika z tego, że również prędkość kątowa  każdego punktu bryły jest jednakowa. Wprowadźmy ponadto jeszcze jedną wielkość fizyczną opisującą ruch obrotowy – częstotliwość . Jest to wielkość mówiąca o tym ile obiegów wokół osi jest wykonywanych przez dany punkt lub ciało w jednostce czasu. Zależności pomiędzy powyższymi wielkościami fizycznymi są następujące:

Ponadto:

Co więcej, ponieważ prędkość kątowa  każdego punktu bryły jest taka sama, to zależność między prędkością liniową  danego punktu a jego odległością od osi obrotu  możemy zapisać następująco (od 1 do n ponumerowano kolejne rozważane punkty bryły sztywnej obracającej się z prędkością kątową ):

Jeśli prędkość kątowa obracającej się bryły ulega zmianie, to zmiany tej prędkości kątowej dla wszystkich punktów bryły w czasie są jednakowe (), a stosunek tej zmiany do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła (), nazywamy przyspieszeniem kątowym bryły :

Ruch bryły sztywnej wokół ruchomej i nieruchomej osi

W wielu przypadkach ruch obrotowy danego ciała odbywa się względem osi obrotu, która sama zmienia swoje położenie obracając się. Taki obrót osi obrotu ciała nazywamy precesją. Przykładem ruchu, podczas którego zachodzi precesja, jest ruch bączka (Rys. 3.).

Rys. 3.

O zjawisku precesji można też mówić opisując ruch obrotowy Ziemi, której oś się obraca – okres jej obrotu wynosi ok. 26 000 lat. Precesja osi obrotu Ziemi jest przyczyną zmiany położenia ciał niebieskich względem tej osi.

Ruch złożony bryły sztywnej

Ruch dowolnej bryły sztywnej jest złożeniem ruchu postępowego i obrotowego – w ogólnym przypadku można go opisać, określając ruch postępowy bryły w trzech kierunkach i ruch obrotowy tej bryły w trzech prostopadłych do siebie płaszczyznach. Przykładem złożenia ruchów postępowego i obrotowego może być chociażby toczenie się walca.

Środek masy bryły – punkt charakteryzujący rozkład masy w ciele, który porusza się tak, jak poruszałby się punkt materialny skupiający całą masę bryły.

Jeżeli ciało składa się ze skończonej liczby  punktów materialnych, to wektor położenia środka masy  tego ciała możemy wyznaczyć korzystając z następującego wzoru:

gdzie: , , …,  – masy kolejnych punktów materialnych, z których składa się bryła

 – wektory położenia kolejnych punktów materialnych, z których składa się bryła.

Wszystkie wektory położenia mają początek w początku obranego układu współrzędnych, a koniec w położeniu punktu, którego dotyczą (Rys. 4.).

Rys. 4.

Środek masy brył jednorodnych (o stałej gęstości w całej objętości) posiadających środek symetrii znajduje się właśnie w środku symetrii. Takie bryły to m. in. walec, prostopadłościan, kula itd.

Środek masy układu ciał

Środek masy możemy wyznaczać nie tylko dla brył sztywnych, ale także dla układów ciał. Dobrym przykładem jest ruch obrotowy Ziemi i Księżyca wokół Słońca – w rzeczywistości wokół Słońca krąży środek masy układu Ziemia-Księżyc.

Z definicji środka masy wynika, że jeśli na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, to porusza się on tak jak punkt materialny, na który nie działają żadne siły zewnętrzne. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki układ taki spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Aby wprawić go w ruch (w przypadku gdy spoczywa) lub zmienić jego prędkość, należy użyć siły zewnętrznej.

Uzasadnienie wzoru na położenie środka masy

Przyjmijmy, że symbolem SM oznaczamy dowolny punkt i uzasadnijmy, że punkt ten spełnia definicję środka masy. Wzór na wektor położenia punktu SM można zapisać następująco:

gdzie  – masa całkowita układu.

Na tej podstawie zapisujemy wzór na zmianę wektora położenia punktu SM:

Dzielimy obie strony równania przez  – czas, w którym punkty bryły się przemieszczają:

Wiemy, że    gdy .

Zatem:

Mnożymy obie strony równania przez, a iloczyny mas i prędkości zapisujemy jako pędy kolejnych punktów bryły :

Z wyprowadzonego wzoru wynika, że wyrażenie  przedstawia całkowity pęd układu punktów, z których składa się rozpatrywana bryła sztywna. Jako że  jest masą całkowitą układu, prędkość punktu SM to prędkość całej bryły, a z tego wynika, że punkt SM porusza się tak, jak poruszałby się punkt materialny o masie, co oznacza, że punkt SM jest w istocie środkiem masy rozpatrywanej bryły sztywnej.

Przykład 1:

Ziemia i Księżyc krążą wokół wspólnego środka masy. Wyznacz jego położenie. Masa Ziemi wynosi , masa Księżyca to , a odległość pomiędzy nimi jest równa 384 400 km.

Rozwiązanie:

Przyjmujemy, że początek układu współrzędnych znajduje się w środku Ziemi, a oś x tego układu skierowana jest w stronę Księżyca i przechodzi przez jego środek (patrz rys. poniżej). Oba ciała traktujemy jako punkty materialne, ponieważ odległość pomiędzy nimi jest znacznie większa niż ich promienie.

Zapisujemy wzór na położenie środka masy układu:                                                                                               

Środek masy układu znajduje się na osi x, ponieważ środki obu ciał także znajdują się na tej osi. Powyższej zależności odpowiada zatem zależność między x-owymi współrzędnymi wektorów położenia obu ciał. A zatem:

,

gdzie x₁ = 0, x₂ = 384 400 km

Środek masy układu znajduje się około 4672 km od środka Ziemi.

Zadania do zrobienia

1. Na podstawie poniższego wykresu zależności prędkości kątowej od czasu dla pewnego punktu, oblicz przyspieszenie kątowe w przedziałach: a) 0 – 4 s, b) 4 – 6 s, c) 6 – 8 s, d) 8 – 10 s.                          

Odp.:

a. 1,75 rad/s²

b. 2 rad/s²

c. 0

d. 1,5 rad/s²

2. Wyznacz środek masy układu dwóch punktów odległych od siebie o 10 cm, gdzie masa pierwszego z nich jest trzykrotnie większa od masy drugiego.

Odp.:  = 7,5 cm

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-bryla-sztywna-1