Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, jeśli na punkt materialny działa stała niezrównoważona siła wypadkowa, to punkt ten porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. W przypadku bryły sztywnej, bez względu na miejsce przyłożenia siły, powoduje ona ruch przyspieszony środka masy. Siła ta ponadto może, ale nie musi powodować ruchu obrotowego. Ruch obrotowy nie występuje, gdy prosta, na której leży wektor siły, przechodzi przez oś, względem której ta bryła mogłaby się obraca (najczęściej ta oś przechodzi również przez środek masy bryły). Jeśli prosta, na której leży wektor siły przyłożonej do bryły sztywnej nie przechodzi przez wspomnianą oś obrotu, to nastąpi ruch obrotowy rozpatrywanej bryły sztywnej.

Formalnie wielkością fizyczną odpowiadającą za to czy i jaki ruch obrotowy się pojawi jest moment siły. Zanim jednak o nim powiemy, zdefiniujmy tzw. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów.

Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów  oraz  jest wektor:

Wektor  jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory  i  (jest on zatem prostopadły do obu tych wektorów jednocześnie). Zwrot wektora  określa reguła śruby prawoskrętnej.

Ustawiona prostopadle do płaszczyzny, w której leżą wektory  i , śruba prawoskrętna obraca się, a zgodnie z jej ruchem wektor  obraca się w stronę wektora . Wówczas wektor  zwrócony będzie w tę stronę, w którą porusza się śruba (Rys. 1.).

Rys. 1.

Wartość wektora  obliczamy następująco:

gdzie  – kąt pomiędzy wektorami  i .

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny, zamiana w nim wektorów miejscami sprawi, że wektor wynikowy (oznaczany tu jako ) zmieni swój zwrot na przeciwny (zachowując tę samą wartość), a zatem możemy zapisać, że:

Moment siły

Wprowadźmy teraz wspomniane już wcześniej pojęcie momentu siły. Moment siły zawsze wyznacza się względem jakiegoś punktu lub osi (najczęściej jest to oś obrotu, względem której dany punkt lub ciało wykonuje lub może wykonywać ruch obrotowy). I tak, jeśli na ciało w punkcie A działa siła , to momentem siły  względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektorów  i , gdzie  to wektor o początku w punkcie O i końcu w punkcie A (Rys. 2.).

Rys. 2.

Możemy więc zapisać, że

Zatem wartość momentu siły obliczymy w następujący sposób:

Jednostką momentu siły jest 1 N ∙ m.

Ponieważ moment siły jest wynikiem iloczynu wektorowego wektorów  i , to zwrot wektora momentu siły  określa reguła śruby prawoskrętnej. Warto nadmienić, że wyrażenie  (gdzie  to kąt między wektorami  oraz ) występujące we wzorze na wartość momentu siły jest odległością punktu O, względem którego liczony jest moment, od prostej, na której leży wektor siły. Tę odległość nazywa się często ramieniem siły (patrz Rys. 3.).

Rys. 3.

Najczęściej moment siły wyznaczamy względem środka masy ciała bądź punktu przecięcia osi obrotu z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu zawierającą wektor  (kiedy ciało obraca się względem jednej osi, a wektor siły leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi).

Wypadkowy moment siły

Wypadkowym momentem sił nazywamy sumę wektorów momentów sił działających na dane ciało względem wybranego punktu.

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Jeśli na bryłę sztywną, która może obracać się wyłącznie wokół określonej osi, działają siły, których wypadkowy moment względem tej osi jest równy 0, to bryła nie obraca się albo obraca się ze stałą prędkością kątową.

Warunek równowagi bryły sztywnej

Aby bryła sztywna pozostawała w spoczynku, równoważyć się muszą zarówno działające na nią siły (warunek ten gwarantuje brak ruchu postępowego), jak i momenty tych sił (warunek ten gwarantuje brak ruchu obrotowego).

Przykład 1.

Dana jest dźwignia o osi obrotu przechodzącej przez środek tej dźwigni w punkcie O (patrz rysunek poniżej). Po lewej stronie dźwigni w odległości r od osi obrotu zawieszono ciężarek o masie m, a w odległości R od osi obrotu zaczepiono linkę, na końcu której znajdował się inny ciężarek o masie m i przerzucono ją przez nieruchomy bloczek. Oblicz kąt pomiędzy linką a dźwignią. Dźwignia pozostaje w równowadze. Pomiń opory ruchu.

Rozwiązanie:

Na pierwszy obciążnik (bardziej po prawej stronie) działa siła , której moment względem osi obrotu ma wartość:

Analogicznie na drugi obciążnik działa siła, której moment wynosi:

Momenty te mają przeciwne zwroty ( przed płaszczyznę,  za płaszczyznę), więc będą się równoważyć tylko wtedy, gdy ich wartości będą jednakowe.

Po przekształceniach otrzymujemy:

Zauważmy, że zadanie ma rozwiązanie dla r ≤ R (sinus kąta nie może bowiem przyjmować wartości większej niż 1).

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz wypadkowy moment siły w podanych przypadkach.

a)

, ,

Odp.: 12,73 N ∙ m.

b)

, , , ,

Odp.: 10 N ∙ m.

2. Poniższy układ ciał pozostaje w równowadze. Masa ciężarka wynosi m = 5 kg. Jaką wartość ma siła ?

Odp.: 49,1 N.

3. Oblicz wartości sił nacisku belki na podpórki. Masa belki wynosi , a jej długość .

Odp.: 163,5 N, 327 N.

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-bryla-sztywna-1