Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym (podobnie jak masa ciała jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym). Aby go zdefiniować, posłużymy się energią kinetyczną obracającego się ciała.

Dla punktu materialnego o masie  poruszającego się po okręgu o promieniu  z prędkością  energię kinetyczną wyrażamy w następujący sposób:

Ponadto wiemy, że . Powyższy wzór po przekształceniach można zapisać zatem następująco:

Bryła sztywna z definicji to zbiór  punktów materialnych o masach  oddalonych o  od rozpatrywanej osi obrotu. Zapiszemy całkowitą energię kinetyczną takiej bryły za pomocą energii kinetycznych jej punktów:

Momentem bezwładności bryły nazywamy wyrażenie w nawiasie. Oznaczamy je symbolem .

Jednostką momentu bezwładności jest .

Wzór na energię kinetyczną bryły można zatem zapisać jako:

Zauważmy, że moment bezwładności jest tym większy, im większa jest masa ciała i im większa część tej masy jest położona jak najdalej od osi obrotu. Stąd wnioskujemy, że moment bezwładności bryły sztywnej zawsze wyznaczamy względem jakiejś osi obrotu.

Interpretacja momentu bezwładności

W przypadku punktu materialnego, im większa jest jego masa, tym większą pracę należy wykonać, aby rozpędzić go do pewnej prędkości, co wynika z zależności . Analogiczną sytuację mamy w przypadku bryły sztywnej. Im większy moment bezwładności bryły sztywnej, tym większą pracę należy wykonać, aby wprawić ją w ruch obrotowy o danej prędkości kątowej.

Moment bezwładności różnych brył sztywnych

Toczenie bez poślizgu

Przyjmijmy, że mamy jednorodną kulę toczącą się bez poślizgu po poziomym podłożu. Środek masy kuli porusza się w prawo z prędkością . Ponieważ toczenie jest złożeniem ruchu postępowego i ruchu obrotowego, prędkość każdego punktu kuli jest sumą wektorową prędkości kuli ruchu postępowego oraz prędkości danego punktu w ruchu obrotowym wokół osi symetrii (środka masy) kuli. Prędkość punku styku z podłożem jest równa 0 – prędkość liniowa tego punktu w ruchu obrotowym wokół osi symetrii jest co do wartości równa prędkości ruchu postępowego, ale ma przeciwny zwrot (Rys. 1.). Toczenie bez poślizgu charakteryzuje się właśnie tym, że prędkość punktu styku toczącego się ciała z podłożem względem tego podłoża jest zerowa.

Rys. 1.

Przyjmując, że promień toczącej się kuli wynosi R, to możemy zapisać, że prędkość liniowa w ruchu obrotowym każdego punktu na obwodzie tej kuli wynosi . Skoro jej wartość jest taka sama jak wartość prędkości każdego punktu kuli w ruchu postępowym, to możemy również wywnioskować, że prędkość środka masy kuli także jest równa .

Energia kinetyczna w ruchu złożonym

Gdy ciało porusza się jednocześnie ruchem postępowym i obrotowym, jego całkowita energia kinetyczna jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego wokół środka masy.

 – masa ciała

 – prędkość liniowa środka masy ciała

– moment bezwładności względem środka masy ciała

 – prędkość kątowa ciała

Przykład:

Kula stacza się z równi pochyłej o wysokości . Z jaką prędkością będzie się poruszać jej środek masy u podnóża równi? Pomiń tarcie toczne.  

Rozwiązanie:

Z zasady zachowania energii wynika, że początkowa energia potencjalna kuli zmienia się w jej energię kinetyczną. Pomijamy tarcie toczne – nie ma strat energii. Można zatem zapisać:

Dla kuli:

Wiemy, że ponieważ mamy do czynienia z toczeniem bez poślizgu, to prędkość liniową środka masy kuli możemy zapisać jako:

Gdzie  to promień kuli.

Podstawiamy zatem  oraz podany wcześniej moment bezwładności do równania opisującego zasadę zachowania energii:

Po przekształceniach otrzymujemy:

Zadania do rozwiązania:

1. Dane są dwa walce, których objętości spełniają zależność . Walce te wykonane są z substancji o tej samej gęstości, a wysokość pierwszego walca jest 2 razy większa od wysokości drugiego. Jaki jest stosunek momentów bezwładności tych walców względem osi przechodzących przez ich środki?

Odp.:

2. Na równię pochyłą o kącie nachylenia  wtacza się kula bez poślizgu. Jej prędkość u podstawy wynosi . Po jakim czasie od rozpoczęcia wtaczania kula się zatrzyma?

Odp.: .

3. Oblicz stosunek energii kinetycznej ruchu obrotowego do całkowitej energii kinetycznej kuli z zad. 2. w chwili początkowej.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-bryla-sztywna-1