Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona przyspieszenie danego ciała jest wprost proporcjonalne do działającej na to ciało siły i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała, co zapisujemy jako:

W ruchu obrotowym odpowiednikiem siły jest moment siły, a odpowiednikiem masy – moment bezwładności. Sformułujmy zatem drugą zasadę dynamiki ruchu obrotowego:

Jeśli na bryłę sztywną działa wypadkowy moment sił  równoległy do osi obrotu, to bryła porusza się ruchem obrotowym z przyspieszeniem kątowym  wprost proporcjonalnym do działającego na nią wypadkowego momentu sił i odwrotnie proporcjonalnym do momentu bezwładności  tej bryły. Tę zależność możemy zapisać w następujący sposób (równanie wartościowe):

Rozważany ruch obrotowy musi odbywać się wokół stałej osi. Siła działająca na daną bryłę sztywną leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.

Uzasadnienie drugiej zasady dynamiki w ruchu obrotowym

Rozważmy przypadek bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi obrotu, na którą działa siła . Siła ta leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu bryły i jest prostopadła do wektora  łączącego oś obrotu z początkiem wektora . Wartość momentu siły  wynosi wówczas . Zakładamy, że moment siły skierowany jest w tę samą stronę, co prędkość kątowa . Z tego faktu wynika, że ruch obrotowy bryły jest ruchem przyspieszonym. W czasie  prędkość kątowa bryły wzrasta od do .

Zakładamy, że , więc ruch bryły można traktować jako jednostajnie zmienny.

Punkt przyłożenia siły  w czasie  pokona drogę:

Ponieważ ruch jest jednostajnie zmienny, to:

Zatem:

Praca wykonana przez siłę  wynosi:

Praca ta jest równa przyrostowi energii kinetycznej bryły:

Stąd:

Ponieważ , a , możemy zapisać:

Z powyższych przekształceń otrzymaliśmy drugą zasadę dynamiki w ruchu obrotowym.

Doświadczalne wyznaczanie momentu bezwładności

Moment bezwładności niektórych ciał można wyznaczyć mierząc przyspieszenie, z jakim toczą się one po równi pochyłej. Rozpatrzmy taką sytuację na przykładzie staczającej się z równi kuli (Rys. 1.)

Rys. 1.

Wprowadźmy oznaczenia:

 - siła ciężkości kuli,

 – siła reakcji równi,

 – siła tarcia statycznego kuli o równię,

 - składowe siły ciężkości (równoległa i prostopadła do równi).

Wiadomo, że , a .

Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego wynika, że:

Ponadto, kula wykonuje ruch obrotowy. Względem jej osi obrotu jedynym niezerowym momentem siły jest moment siły tarcia , który powoduje ruch obrotowy kulki z przyspieszeniem ε.

Ponieważ kula toczy się bez poślizgu, to spełniony jest warunek  oraz .

Podzielmy obie strony ostatniego równania przez .

Ponieważ , a , spełniona jest zależność:

Skorzystajmy z niej w zależności :

Wstawiamy otrzymaną zależność do równania wynikającego z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego:

Po przekształceniach otrzymujemy:

Przykład:

Jaką co najmniej wartość musi mieć współczynnik tarcia statycznego , aby jednorodna kula o promieniu  mogła staczać się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia ?

Rozwiązanie:

Zapiszmy równanie wynikające z drugiej zasady dynamiki w ruchu postępowym dla kuli i połączmy to z faktem, że siłę tarcia wyznaczyliśmy we wcześniejszym dowodzie jako

Wiemy, że dla kuli , stąd:

Otrzymane wyrażenie wstawiamy do zapisanej na początku drugiej zasady dynamiki:

Stąd:

Aby ruch zachodził bez poślizgu, spełniony musi być warunek (tarcie jest wówczas tarciem statycznym):

 oznacza tutaj współczynnik tarcia statycznego, a wyrażenie  jest równe sile nacisku kuli na równię.

W tym przypadku , zatem:

Zadania do rozwiązania:

1. Dany jest walec o promieniu  i masie . Na ten walec nawinięto nitkę i zawieszono na niej klocek o masie  (patrz rysunek poniżej).

Oblicz:

a. przyspieszenie liniowe klocka,

b. siłę naciągu nitki,

c. przyspieszenie kątowe walca.

Odp.:

a) ,

b) ,

c)

2. Jaką wartość musi mieć siła przyłożona stycznie do obrzeża walca o masie i promieniu , aby w ciągu 4 sekund wprawić go w ruch obrotowy o częstotliwości ? Początkowa prędkość kątowa walca jest równa zeru.

Odp.: .

3. Z jakim przyspieszeniem będzie staczał się bez poślizgu walec z równi pochyłej o kącie nachylenia ?

Odp.: .

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-bryla-sztywna-2