W ruchu obrotowym odpowiednikiem pędu (z ruchu postępowego) jest moment pędu.

Momentem pędu  punktu materialnego o masie , którego położenie względem wybranego punktu O opisuje wektor położenia , a prędkość w danej chwili wynosi , jest iloczyn wektorowy wektora położenia i pędu tego punktu materialnego.

Ponieważ pęd to iloczyn masy i prędkości danego punktu, to:

Kierunek wektora momentu pędu jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory położenia i pędu, natomiast jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej.

Jednostką momentu pędu jest .

Wartość momentu pędu obliczamy ze wzoru:

Jeśli punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu , wektory  i  są do siebie prostopadłe – oznacza to, że sinus kąta pomiędzy nimi wynosi 1. Wówczas:

Moment pędu bryły sztywnej i układu ciał

Moment pędu bryły sztywnej względem osi obrotu jest równy sumie momentów pędu punktów materialnych wchodzących w skład tej bryły sztywnej względem rozpatrywanej osi obrotu.

Podobnie moment pędu układu ciał jest równy sumie momentów pędu poszczególnych ciał.

Wyznaczmy moment pędu bryły sztywnej, która obraca się wokół ustalonej osi. W takim przypadku momenty pędu poszczególnych punktów materialnych mają jednakowy kierunek (wzdłuż osi obrotu) i zwrot, a mogą różnić się wartością. Wynika stąd, że aby otrzymać wartość momentu pędu bryły, należy dodać wartości momentu pędu wszystkich punktów materialnych, z których ona się składa.

Ponieważ , można zapisać powyższe równanie następująco:

Zatem:

Wyrażenie w nawiasie jest równe momentowi bezwładności bryły, zatem:

Zauważmy, że nie korzystaliśmy z faktu, że bryła jest sztywna, a jedynie z założenia, że wszystkie jej części poruszają się wokół ustalonej osi z jednakową prędkością kątową.

Zasada zachowania momentu pędu

Jeśli na układ fizyczny nie działa wypadkowy moment siły, to całkowity moment pędu układu się nie zmienia.

Przykład:

Dane są ciała A i B, które tworzą układ. Ciała te oddziałują między sobą siłami  i  o jednakowych wartościach i przeciwnych zwrotach. Ponadto siły te działają wzdłuż jednej prostej (patrz Rys. 1.).

Rys. 1.

Momenty tych sił wynoszą odpowiednio:

Wynika stąd, że momenty tych sił są równe co do wartości, jednak mają przeciwne zwroty, więc nie wpływają one na obrót układu (względem osi przyjętej w dowolnym punkcie, np. O).

Obrotowy odpowiednik odrzutu

Podczas zjawiska odrzutu dwa początkowo nieruchome ciała oddziałują ze sobą i dzięki temu zaczynają poruszać się w przeciwnych kierunkach, a pęd takiego układu nadal jest równy zeru, ponieważ pędy tych ciał są przeciwnie skierowane (spełniona jest zasada zachowania pędu).

Do analogicznej sytuacji może dojść w ruchu obrotowym, kiedy dwa początkowo nieruchome ciała zaczynają oddziaływać siłami o niezerowym momencie siły względem osi obrotu. Wówczas ciała te zaczynają obracać się w przeciwne strony. Ich momenty pędu skierowane są przeciwnie, a suma tych momentów jest równa zeru (spełniona jest zasada zachowania momentu pędu).

Efekt żyroskopowy – tendencja ciała do zachowywania płaszczyzny obrotu.

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu stałe pozostają wartość, kierunek i zwrot momentu pędu, a zatem płaszczyzna obrotu bryły. Z tego powodu wirujący bączek utrzymuje swoje pionowe położenie lub podlega precesji, natomiast przewraca się, kiedy go zatrzymamy. Jest to właśnie zobrazowanie efektu żyroskopowego.

Przyrządem demonstrującym efekty żyroskopowe (często nazywanym po prostu żyroskopem), jest np. krążek, który raz wprawiony w szybki ruch obrotowy zachowuje swoje pierwotne położenie osi obrotu, z niewielkimi ruchami precesyjnymi. Wśród zastosowań żyroskopu możemy wyróżnić chociażby sztuczny horyzont w samolotach, żyrokompas czy czujniki ruchu w kontrolerach do gier.

Przykład:

Aluminiowe koło o promieniu , grubości  i gęstości  obraca się swobodnie wokół osi przechodzącej przez jego środek i do niego prostopadłej (patrz rysunek poniżej). Do koła strzelono z pistoletu. Przed strzałem koło obracało się z częstotliwością . Następnie pocisk o masie  wbił się w koło, które zaczęło obracać się w przeciwną stronę z częstotliwością . Odległość środka koła od prostej, wzdłuż której leciał pocisk, wynosi . Jaką prędkość miał pocisk, kiedy uderzył w koło? Pomiń głębokość, na jaką wbił się pocisk.

Rozpocznijmy od obliczenia momentu bezwładności bryły. Objętość koła (z matematycznego punktu widzenia walca) wynosi:

Ponieważ gęstość z definicji wynosi , mamy:

Dla walca:

Początkową wartość prędkości kątowej obliczymy ze wzoru: .

Wiadomo, że zmienia się kierunek obrotu koła, więc zmianie ulega również zwrot wektora momentu pędu. Przyjmujemy, że początkowo wektor ten ma wartość dodatnią:

Analogicznie obliczamy moment pędu koła z pociskiem. Jest on ujemny, ponieważ koło obracało się w przeciwną stronę:

Moment pędu pocisku wynosi: .

Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że:

Stąd:

Ujemny wynik świadczy o tym, że prędkość pocisku była zwrócona przeciwnie do prędkości dolnej części koła. Wartość tej prędkości była równa 662,5 m/s.

Zadania do rozwiązania:

1. Dana jest bryła sztywna o momencie bezwładności . Bryła ta wiruje, a jej energia kinetyczna jest równa . Oblicz moment pędu tej bryły.

Odp.:

2. Koło zamachowe obraca się bez tarcia z częstotliwością . Spada na nie drugie koło zamachowe, które początkowo spoczywało, a jego moment bezwładności jest 4 razy większy niż moment bezwładności pierwszego koła. Przez działające między kołami tarcie, osiągają one jednakową prędkość kątową i obracają się dalej razem.

1. Oblicz prędkość kątową połączonych kół.

Odp.:

2. Oblicz stosunek energii kinetycznej połączonych kół do energii kinetycznej pierwszego koła przed połączeniem.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami niektórych zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-bryla-sztywna-2