Wyobraźmy sobie daną sytuację: mamy do dyspozycji butlę do nurkowania, wewnątrz której panuje ciśnienie 200 razy większe niż na zewnątrz. Po otwarciu zaworu powietrze z butli zaczyna uciekać. Dzieje się tak do momentu zrównania ciśnień na zewnątrz i wewnątrz butli. Manometr – urządzenie służące do pomiaru ciśnienia – wskaże wartość 0. Należy jednak wiedzieć, że wynik ten jest skutkiem takiego skalibrowania urządzenia. Większość manometrów pokazuje wartość zero pod ciśnieniem atmosferycznym, które wynosi 1 atm. Oznacza to, że odczytując wartość z takiego miernika mamy do czynienia z ciśnieniem mierzonym względem ciśnienia atmosferycznego. Nazywamy to ciśnieniem manometrycznym. Mierząc ciśnienie większe od ciśnienia atmosferycznego, ujrzymy wartość dodatnią. W sytuacji, gdy przeprowadzamy eksperyment na przykład w komorze próżniowej, manometr wskaże wartość ujemną, bo ciśnienie tam jest niższe od ciśnienia atmosferycznego.

W fizyce posługujemy się także określeniem ciśnienia absolutnego (inaczej ciśnienia bezwzględnego). Jest ono sumą ciśnienia manometrycznego i ciśnienia atmosferycznego. Możemy to zapisać w następujący sposób:

Gdzie   jest ciśnieniem absolutnym,  ciśnieniem manometrycznym, a ciśnieniem atmosferycznym. W praktyce oznacza to, że np. dla wcześniej wspomnianej butli do nurkowania ciśnienie absolutne będzie wynosić 200 atm + 1 atm, czyli 201 atm.

Najniższa wartość ciśnienia absolutnego dla płynów to zero. W takim wypadku .

Pomiar ciśnienia

Obecnie dysponujemy wieloma metodami pomiarów ciśnienia. Wśród nich możemy wyróżnić np. tensometry, mierniki pojemnościowe, piezoelektryczne czy jonowe. Jednymi z najbardziej podstawowych mierników ciśnienia są manometry.

Manometry wykorzystują fakt, że słup płynu o stałej gęstości  i wysokości  wywiera ciśnienie .

Najprostszym przykładem manometru jest rurka w kształcie litery U. Gdy jej oba końce są otwarte, ciśnienie atmosferyczne działa jednakowo w dół w każdym z ramion, w związku z czym nie obserwujemy żadnej reakcji – efekty oddziaływania znoszą się.

Jeżeli chcemy poznać wartość ciśnienia manometrycznego, musimy osłonić jedną część U-rurki przed działaniem ciśnienia atmosferycznego (Rys. 1.). Ciśnienie manometryczne dane wyrażeniem  można uzyskać przez pomiar wysokości h. Łącząc jeden koniec rurki z balonem, który traktujemy jako obszar o pewnym ciśnieniu  zaobserwujemy, że poziom płynu w obu ramionach rurki przestaje być taki sam. Dzieje się tak, ponieważ ciśnienie w baloniku jest większe od ciśnienia atmosferycznego. Jest ono przekazywane bez strat do manometru i niejako „wypycha” ciecz w drugą stronę, mogąc ją utrzymać na wysokości h. Gdybyśmy mieli do czynienia z próżniowo zamkniętą puszką efekt byłby odwrotny, ponieważ ciśnienie w puszcze jest mniejsze od ciśnienia atmosferycznego, więc ciecz byłaby zasysana.

Rys. 1.

W każdym z opisanych przypadków ciśnienie  rożni się od ciśnienia atmosferycznego o wielkość hρg, gdzie ρ jest gęstością płynu w manometrze. Zjawiska te możemy opisać dwoma układami dwóch równań. Dla balonika:

Dla zamkniętej próżniowo puszki:

Innym rodzajem przyrządu służącego do pomiaru ciśnienia jest barometr. Jest to urządzenie, które składa się ze szklanej rurki wypełnionej rtęcią, którą po odwróceniu umieszcza się w naczyniu z rtęcią (Rys. 2.). W rurce, ponad powierzchnią rtęci tworzy się prawie idealna próżnia. Gdy ciśnienie atmosferyczne się zmienia, a tym samym naciska na ciecz w zbiorniku, wysokość słupa rtęci ulega zmianie. Ciśnienie panujące na tej samej wysokości jednorodnej cieczy jest takie samo. W związku z tym zależność między ciśnieniem atmosferycznym  a rtęcią wygląda następująco: , gdzie h jest wysokością słupa rtęci.

Rys. 2.

Barometry są często wykorzystywane do przewidywania pogody. Podnoszenie się poziomu rtęci zazwyczaj świadczy o poprawie pogody, zaś opadanie – o jej pogorszeniu. Barometry mają też znaczenie przy określaniu wysokości nad poziomem morza. Popularność barometrów rtęciowych i manometrów przyczyniła się do ustalenia jednostki jaką jest milimetr słupa rtęci (mmHg) – 1 mmHg był definiowany pierwotnie jako ciśnienie wywierane przez słup rtęci o wysokości 1 mm.

Prawo Pascala i układy hydrauliczne

Pojęcie równowagi statycznej odnosi się do płynu, który nie płynie, to znaczy nie jest w ruchu. W przypadku wody stan ten nazywamy równowagą hydrostatyczną. Skoro płyn znajduje się w spoczynku, to siła wypadkowa działająca na jego dowolną część jest zerowa.

Hydraulika jest ważną dziedziną technologii mechanicznej. Zajmował się nią między innymi francuski filozof i uczony Blaise Pascal. Wykonując eksperymenty zauważył pewne zależności zachodzące dla płynów i na tej podstawie sformułował prawo, które nazwano prawem Pascala.

Prawo Pascala mówi o tym, że zmiana ciśnienia przyłożonego do płynu jest przekazywana bez strat do wszystkich jego części i ostatecznie do ścianek naczynia zawierającego płyn. Przekaz ten zachodzi dzięki swobodnie poruszającym się atomom.

Rozważmy naczynie w kształcie walca o wysokości H i polu przekroju poprzecznego A, na które nakładamy ruchomy tłok o tej samej powierzchni A (Rys. 3.). Jeśli na tłoku umieścimy dodatkowy ciężar Mg, ciśnienie na szczycie zwiększy się o Mg/A.

Rys. 3.

Korzystając z prawa Pascala wiemy, że ciśnienie nie zmienia się tylko na szczycie, lecz wzrasta w każdym puncie płynu o taką samą wartość. Nie znaczy to jednak, że ciśnienie w każdym puncie będzie takie samo. Im bliżej dna, tym ciśnienie będzie wyższe, ponieważ większy ciężar słupa cieczy naciska na dany punkt (na większej głębokości większe jest ciśnienie hydrostatyczne). Zmiana ciśnienia spowodowana dodaniem ciężaru będzie jednak wszędzie taka sama. Można to przedstawić w następujący sposób:

Układy hydrauliczne

Układy hydrauliczne, stosowane na przykład w hamulcach samochodowych czy podnośnikach hydraulicznych, składają się zazwyczaj z dwóch wypełnionych płynem cylindrów połączonych przewodem hydraulicznym (Rys. 4.).

Po zamknięciu cylindrów tłokami możemy w praktyce obserwować działanie prawa Pascala. Po przyłożeniu pionowo w dół siły  do lewego tłoka obserwujemy przekazywanie bez strat zmiany ciśnienia do wszystkich punktów danego płynu. W ten sposób wywołujemy siłę  działającą na prawy tłok skierowaną pionowo w górę, której wartość jest większa niż wartość siły , ponieważ pole powierzchni prawego tłoka jest większe.

Rys. 4.

Wiemy z definicji ciśnienia, że:

Gdzie  to ciśnienie związane z działaniem siły .

W tym wypadku tłoki początkowo znajdowały się na tej samej wysokości, co znaczy, że w punktach styku tłoków z cieczą panowało takie samo ciśnienie (te same ciśnienia hydrostatyczne). W związku z tym ciśnienie równe  działa również przy drugim tłoku. Zachodzą zatem równości:

A ponadto z definicji ciśnienia:

Zachodzi więc również:

Równanie to jest spełnione tylko gdy początkowo tłoki znajdują się na tej samej wysokości i nie bierzemy pod uwagę występowania tarcia.

Tak zbudowane układy hydrauliczne mogą zwiększać lub zmniejszać przyłożoną siłę w zależności od tego, do którego cylindra ją przyłożymy. Jeśli przyłożymy siłę do cylindra o mniejszej powierzchni, siła wyjściowa będzie powiększona tyle razy, ile razy powierzchnia drugiego cylindra jest większa od powierzchni pierwszego. Zjawisko to znajduje wykorzystanie w podnośnikach hydraulicznych (Rys. 5.).

Rys. 5.

Zadziałanie małą siłą   na małą powierzchnię umożliwia nam wywołanie dużej siły wyjściowej , która jest w stanie zrównoważyć ciężar auta , w efekcie czego pojazd się podnosi. Widzimy zatem, że siła jaką działamy aby podnieść samochód jest dużo mniejsza niż jego ciężar.

Reasumując: dzięki podnośnikowi hydraulicznemu jesteśmy w stanie podnieść przedmiot o dużym ciężarze, działając niewielką siłą.

Przykład 1:

Rozważamy U-rurkę wypełnioną cieczą o gęstości  do wysokości h równej w obu ramionach. Do jednego ramienia rurki wlewamy ciecz, której gęstość  jest mniejsza od gęstości (patrz rysunek poniżej). Druga z wymienionych cieczy osiada na pierwszej. Powstaje różnica wysokości słupów cieczy w ramionach rurki, którą oznaczmy jako x. Wyznacz x w zależności od gęstości cieczy  oraz wysokości , która jest wysokością słupa dolanej cieczy.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenie: to wysokość słupa cieczy pierwszej mierzona od poziomu styku dwóch cieczy w prawym ramieniu rurki. Szukana odległość jest równa . Z prawa Pascala wiemy, że w obrębie jednej cieczy ciśnienie dwóch punktów położonych na takich samych wysokościach musi być takie samo. Znajdujemy więc punkty, które mogą nam się przydać: jeden z nich będzie leżał na styku dwóch cieczy, a drugi na tej samej wysokości w obrębie pierwszej cieczy, ale w lewym ramieniu rurki. Ciśnienia w tych punktach są sumą ciśnienia atmosferycznego (bo rurka jest obustronnie otwarta) i ciśnienia hydrostatycznego związanego z ciężarem słupa cieczy nad danym punktem. Skoro ciśnienia w tych dwóch punktach mają być równe, możemy zapisać równanie:

Z tego otrzymujemy:

Przekształcając to równanie dalej otrzymamy:

Przykład 2:

Rozważamy podnośnik hydrauliczny, którego platformy mają powierzchnie  oraz . Na większej platformie znajduje się samochód, którego masa m jest równa 1500 kg. Oblicz jaką najmniejszą siłę  trzeba przyłożyć do mniejszej platformy, aby spowodować podnoszenie się samochodu. Platformy w chwili początkowej znajdują się na tej samej wysokości.

Rozwiązanie:

Znając masę samochodu możemy policzyć wartość siły ciężkości, która działa na samochód, którą należy zrównoważyć aby podnieść auto.

Wiemy także, że w obrębie jednej cieczy ciśnienia na tych samych wysokościach są jednakowe. Oznacza to, że w punktach styku cieczy odpowiednio z platformą większą i mniejszą ciśnienia  i  będą takie same. Możemy zatem zapisać:

Zatem:

Przekształcając to równanie otrzymujemy:

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy:

Przykład 3:

Dziecko napełniło strzykawkę wodą, po czym zatkało palcem jej koniec w taki sposób, żeby woda nie mogła się z niej wydostać, jednocześnie naciskając na tłok, którego powierzchnia jest równa . Dziecko użyło do tego siły o wartości . Pole powierzchni wylotu strzykawki jest równe      . Oblicz wartość siły jaka naciska na palec dziecka przy wylocie.

Rozwiązanie:

Naciskając na tłok strzykawki dziecko spowodowało wzrost ciśnienia wewnątrz niej. Wiemy, że w tej sytuacji obowiązuje prawo Pascala. Zmiana ciśnienia w dowolnym puncie zamkniętego płynu rozchodzi się  jednakowo we wszystkich kierunkach. W związku z tym ciśnienie przy wylocie strzykawki będzie takie jak przy tłoku. Możemy zatem zapisać równania:

Otrzymujemy zatem:

Podstawiamy wartości liczbowe i obliczamy:

Zadania do zrobienia:

1. W rurce w kształcie litery U znajduje się pewna substancja, której gęstość wynosi.  Do jednego z ramion dolano wody, tak, że jej słup miał wysokość 9 cm. Do drugiego ramienia dolano cieczy o gęstości , a słup tej cieczy miał wysokość 8 cm. Po dolaniu drugiej cieczy różnica poziomów cieczy o gęstości w obu ramionach rurki wynosiła 1 cm, przy czym słup tej cieczy był wyższy w ramieniu, do którego dolano wodę.  Gęstość wody to . Oblicz .

Odp.: 1312,5

2. Rozważmy barometr wypełniony rtęcią, której gęstość to 13,55. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 101310 Pa, a przyspieszenie ziemskie wynosi 9,81. Oblicz wysokość słupa rtęci w danych warunkach. Załóż, że nad słupem cieczy występuje próżnia.

Odp.: Około 0,76 m

3. W rurce w kształcie litery U znajduje się woda, której poziom jest jednakowy w obu ramionach rurki. W początkowej sytuacji w rurce zostaje jeszcze 10 cm wolnej przestrzeni. Do jednego z ramion rurki dolewamy ciecz o gęstości równej 790 . Oblicz jak wysoki będzie słup dolanej cieczy, jeśli chcemy, aby poziom tej cieczy pokrywał się z końcem rurki. Gęstość wody to .

Odp.: Około 16,53 cm

4. Na jednej z platform podnośnika hydraulicznego o wymiarach 2 m na 4 m znajduje się samochód, którego masa jest równa 1,4 tony. Powierzchnia drugiej platformy jest równa 0,3 . Oblicz najmniejszą siłę jaką trzeba przyłożyć do drugiej platformy, aby podnieść samochód. Uwaga: platformy znajdują się początkowo na takich samych wysokościach.

Odp.: 515,025N

5. Rozważmy układ hydrauliczny, który działa w następujący sposób: po przyłożeniu do mniejszej platformy siły, układ oddziałuje siłą, której wartość jest 120 razy większa od siły wyjściowej. Oblicz jaki jest stosunek pól obu platform danego układu oraz stosunek ich promieni, jeśli obie platformy są w kształcie okręgów i początkowo znajdują się na tej samej wysokości.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-hydrostatyka-i-aerostatyka