Ruch harmoniczny ciała to ruch drgający tego ciała, w którym siła wypadkowa działająca na to ciało jest zawsze zwrócona w stronę położenia równowagi, a jej wartość jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi. Gdy ciało porusza się ruchem harmonicznym, to zależność wychylenia ciała z położenia równowagi od czasu jest funkcją typu sinus. Ruch harmoniczny jest też ściśle powiązany z ruchem po okręgu (Rys. 1.).

Rys. 1.

Punkt b jest rzutem punktu a na oś x. Punkt b porusza się wzdłuż osi x ruchem harmonicznym, dla którego wykres zależności położenia punktu b na osi x od czasu t przedstawiono w prawej części Rys. 1. Ruch punktu b wzdłuż osi x można opisać za pomocą następującej  funkcji trygonometrycznej:

gdzie  jest promieniem rozważanego okręgu.

Jeżeli ruch punktu a po okręgu odbywa się ze stałą prędkością kątową , a w chwili początkowej punkt a znajduje się w najniższym położeniu na okręgu, to zależność między kątem , wartością prędkości kątowej  i czasem  jest następująca:

Możemy zauważyć, że amplituda drgań jest równa promieniowi, zatem . Wiedząc ponadto, że zależność pomiędzy prędkością kątową a okresem to , możemy zapisać wzór opisujący zależność położenia punktu b wzdłuż osi x od czasu:

Wykorzystując następnie wzory na prędkość i przyspieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu:

 oraz

oraz zależności trygonometryczne pomiędzy x-ową składową prędkości  i samą prędkością , a także między x-ową składową przyspieszenia  i przyspieszeniem :

 oraz

jesteśmy w stanie zapisać zależności między x-owymi składowymi prędkości i przyspieszenia punktu b od czasu:

    oraz   

Na tej podstawie możemy sporządzić wykresy zależności prędkości (Rys. 2.) i przyspieszenia (Rys. 3.) ciała poruszającego się ruchem harmonicznym od czasu.

Podstawowy wykres zależności prędkości od czasu:

Rys. 2.

Podstawowy wykres zależności przyśpieszenia od czasu:

Rys. 3.

Siła w ruchu harmonicznym

Zauważmy, że jeżeli  oraz  to . Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona , a zatem wzór na siłę działającą na ciało w ruchu harmonicznym jest następujący:

Znak minus świadczy o fakcie, że siła działająca na ciało w ruchu harmonicznym ma zwrot przeciwny do zwrotu wychylenia ciała z położenia równowagi.

Faza w ruchu harmonicznym

Wielkość  nazywamy w ruchu harmonicznym fazą. Stanowi ona argument funkcji sinus opisującej zależność wychylenia ciała z położenia równowagi od czasu, a zatem mówi o tym, w którym momencie ruchu harmonicznego znajduje się ciało. Z uwagi na fakt, że jest argumentem funkcji trygonometrycznej, to wyrażamy ją w radianach (jak zwykły kąt). Dzięki niej można w ogólniejszy sposób opisać ruch harmoniczny ciała, np. zamiast stwierdzić, że upłynęła ½ okresu od momentu, gdy ciało przechodziło przez położenie równowagi z prędkością zwróconą zgodnie z osią x, można po prostu zapisać, że faza ruchu ciała wynosi .

Do tej pory zakładaliśmy, że w chwili początkowej ciało poruszające się ruchem harmonicznym przechodzi przez położenie równowagi z prędkością zgodną ze zwrotem osi, wzdłuż której odbywa się ów ruch harmoniczny. To oznaczało, że w chwili początkowej faza była równa zero (. Może mieć jednak miejsce sytuacja, gdy faza początkowa nie jest równa 0. Wówczas owo przesunięcie fazowe należy uwzględnić w wyprowadzanych powyżej wzorach na wychylenie ciała z położenia równowagi, jego prędkość oraz przyspieszenie. A zatem ostatecznie zależności kolejno wychylenia ciała z położenia równowagi, prędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym są następujące:

Gdzie  to faza w chwili początkowej (t = 0 s), nazywana fazą początkową.

Przekłada się to oczywiście również na wykresy zależności wychylenia z położenia równowagi, prędkości i przyspieszenia od czasu – w przypadku niezerowej fazy początkowej są one przesunięte w poziomie (wzdłuż osi czasu) właśnie o fazę początkową. Na Rys. 4. zawarto przykładowy wykres zależności  dla takiej niezerowej fazy początkowej.

Rys. 4.

Przykład 1:

Pewien przedmiot porusza się ruchem harmonicznym o okresie T = 6 s, amplitudzie A = 20 cm, a jego faza początkowa wynosi  .

a) Oblicz po jakim czasie przedmiot ten będzie po raz pierwszy w odległości = 15 cm od położenia równowagi.

b) Oblicz prędkość i wartość (bezwzględną) przyspieszenia tego przedmiotu w położeniu .

Rozwiązanie:

a) Z treści znamy fazę początkową, amplitudę i okres, a szukaną wartością jest czas – oznaczmy go jako .

Wiemy też, że .  W takiej sytuacji można użyć z równania opisujące ruch harmoniczny:

W położeniu  wzór wygląda zatem tak:

Do powyższego wzoru wstawiamy dane i wykonujemy odpowiednie przekształcenia:

Z kalkulatora naukowego odczytujemy, że kąt, dla którego sinus wynosi to  rad. Zatem:

Stąd obliczamy :

b) Do obliczenia prędkości i przyspieszenia można wykorzystać obliczony uprzednio czas . Prędkość:

Przyspieszenie:

Zatem wartość bezwzględna prędkości:

Zadania do zrobienia:

1.Narysuj wykres zależności  przedmiotu z powyższego przykładu.

Odp.:

2. Dziewczynka zaczyna bujać się na huśtawce, startując z położenia równowagi. Maksymalne wychylenie  wynoszące 1,5 m osiąga co 2 s. Przyjmij, że faza początkowa.

a) Oblicz maksymalną wartość przyspieszenia jakie może osiągnąć dziewczynka.

b) Oblicz częstotliwość bujania huśtawki.

c)  Oblicz fazę w jakiej będzie dziewczynka po 3 sekundach ruchu.

d) Dziewczynka ma masę 40 kg. Oblicz wartość siły działającej na nią w ruchu harmonicznym po 1 sekundzie ruchu.

Odp.:

a)

b) f =

c)

d) F148 N

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-ruch-harmoniczny