Oscylator harmoniczny to ciało, które porusza się ruchem harmonicznym (wykonuje drgania harmoniczne). Przykładem oscylatora harmonicznego jest ciężarek zamocowany na sprężynie. Załóżmy, że ślizga się on po poziomej powierzchni bez tarcia, a masę samej sprężyny pomijamy. Aby sprężyna została wprawiona w drgania, trzeba na nią zadziałać siłą zewnętrzną , która odkształci tę sprężynę. Siła ta jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciężarka z położenia równowagi:

Siła sprężystości  z jaką sprężyna działa na ciężarek zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona ma taką samą wartość, natomiast ma przeciwny zwrot, zatem:

Gdzie: k – współczynnik sprężystości, określony dla danej sprężyny;  – wychylenie ciężarka z położenia równowagi.

Opisaną powyżej sytuację przedstawiono na Rys. 1. Wraz z zaznaczeniem siły sprężystości z jaką sprężyna działa na ciężarek (w sytuacji gdy jest ona rozciągnięta – ciężarek jest wychylony na prawo od położenia równowagi, siła sprężystości ma zatem zwrot w lewo).

Rys. 1.

Siła sprężystości  jest w tym przypadku siłą harmoniczną (), a zatem można stąd wyznaczyć częstość drgań :

Gdzie  to masa ciężarka zaczepionego na sprężynie.

Znając częstość drgań wyznaczamy także okres drgań  ciężarka na sprężynie:

Ze wzoru na okres możemy wywnioskować, że im większa jest masa ciężarka na sprężynie, tym okres jest większy. Jednocześnie im większy współczynnik sprężystości sprężyny  (jest to wielkość, która mówi nam jak bardzo sprężyna się odkształca pod wpływem przyłożonej do niej wzdłużnie siły o określonej wartości), tym mniejszy okres. że okres wzrasta wraz z wzrostem masy, a jest tym mniejszy, im większy jest współczynnik sprężystości. Zauważamy także, że okres nie zależy od amplitudy drgań (maksymalnego wychylenia ciała z położenia równowagi).

Ciało na sprężynie drgające w pionie

Oscylatorem harmonicznym jest także ciało zawieszone na sprężynie i wykonujące drgania w kierunku pionowym. W tej sytuacji siła harmoniczna powodująca ruch harmoniczny ciała jest wektorową sumą siły sprężystości oraz ciężaru ciała:

Stąd, położeniem równowagi dla takiego ciała jest punkt, w którym siła sprężystości równoważy jego ciężar:

A zatem:

Gdzie:  – wydłużenie sprężyny (od jej naturalnej długości) w położeniu równowagi,  – masa ciała zawieszonego na sprężynie, g – przyspieszenie ziemskie.

Gdy teraz ciało będzie wychylone w dół z położenia równowagi o , to całkowite wydłużenie sprężyny wynosi , a zatem siłę harmoniczną można zapisać następująco:

Jednocześnie wiedząc, że , otrzymujemy:

Oznacza to, że wzór opisujący siłę działającą na ciało zawieszone na sprężynie w pionie jest taki sam jak w przypadku gdy sprężyna znajdowała się w pozycji poziomej. Stąd wzory na częstość i okres drgań pozostają takie same.

Na Rys. 2. przedstawiono sprężynę wiszącą pionowo bez obciążenia (po lewej), sprężynę z zawieszonym na niej ciałem w położeniu równowagi (w środku) oraz sprężynę z zawieszonym na niej ciałem, które znajduje się w położeniu poniżej położenia równowagi (z prawej).

Rys. 2.

Łączenie sprężyn

Układ wielu sprężyn można zastąpić jedną sprężyną, nie zmieniając przy tym częstości (a co za tym idzie okresu) drgań ciała zawieszonego na owych sprężynach. Na Rys. 3. przedstawiono dwa główne rodzaje połączeń z jakimi możemy mieć do czynienia – a) równoległe oraz b) szeregowe. Przyjmijmy, że współczynniki sprężystości sprężyn wchodzących w skład zaprezentowanych układów to odpowiedni  i .

W obu przypadkach możemy te dwie sprężyny zastąpić jedną sprężyną (tzw. zastępczą) o „zastępczym” współczynniku sprężystości , otrzymując równoważny układ. Pokażmy jak można obliczyć wartości k w zależności od rodzaju połączenia sprężyn.

W przypadku połączenia równoległego siła sprężystości działająca na ciężarek jest sumą sił sprężystości  i  pochodzących od obu sprężyn (taka będzie też wartość siły  pochodzącej od nowej sprężyny zastępczej), natomiast ich wydłużenie jest identyczne (oznaczmy je jako ). Możemy zatem zapisać, że:

W przypadku połączenia równoległego współczynnik sprężystości sprężyny zastępczej jest zatem sumą współczynników sprężystości sprężyn składowych.

W przypadku połączenia szeregowego to siły pochodzące od obu sprężyn są takie same (i równe sile pochodzącej od nowej sprężyny zastępczej), a całkowite wydłużenie nowej sprężyny  jest sumą wydłużeń sprężyn składowych  i . Zatem:

W połączeniu szeregowym odwrotność współczynnika sprężystości sprężyny zastępczej jest równa sumie odwrotności współczynników sprężystości sprężyn składowych.

Przykład 1:

Nieważka sprężyna o współczynniku sprężystości  wisi pionowo. Zawieszono na niej klocek o masie, co doprowadziło do wydłużenia się sprężyny o . Następnie klocek pociągnięto w dół o  = 10 cm i puszczono, co wprawiło go w drgania harmoniczne.

a) Oblicz  i okres drgań.

b) Oblicz maksymalną wartość siły sprężystości, która działa na klocek.

c) Przyjmijmy, że do końca pierwszej sprężyny zostaje doczepiona druga sprężyna o współczynniku sprężystości . Oblicz  układu. Przyjmij, że masy sprężyn można pominąć.

Rozwiązanie:

a) Aby obliczyć  przyrównujemy wartość ciężaru do wartości siły sprężystości:

Obliczamy następnie okres na podstawie wyprowadzonego wzoru na okres drgań ciężarka na sprężynie:

b) Należy zauważyć, że siła sprężystości osiągnie maksymalną wartość w momencie, w którym sprężyna będzie maksymalnie odkształcona, czyli w najniższym położeniu klocka (wtedy sprężyna jest najbardziej wydłużona). Obliczamy zatem maksymalne wydłużenie sprężyny:

Wartość siły sprężystości:

c) Wykorzystujemy wzór na współczynnik sprężystości układu (sprężyny zastępczej) w połączeniu szeregowym:

Stąd:

A zatem:

Zadania do zrobienia:

1. Wagonik zaczepiony jest na sprężynie o współczynniku sprężystości , okres drgań wynosi 5 sekund. Oblicz masę wagonika.

Odp.: m 6,34 kg

2.  Ciężarek zawieszony jest na sprężynie, która w położeniu równowagi wydłużona jest o 10 cm.

a) oblicz okres drgań sprężyny

b) oblicz k sprężyny, jeśli masa ciężarka to 0,1 kg

Odp.:

a) T  0,634 s

b) k9,81

3. Deska zawieszona jest na dwóch takich samych sprężynach połączonych szeregowo o współczynniku sprężystości  każda. Sprężyny drgają z częstotliwością 0,2 Hz. Oblicz ile wynosiłby okres, gdyby deska wisiała na 5 takich samych sprężynach połączonych szeregowo.

Odp.: T7,91 s

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-ruch-harmoniczny