Wahadło matematyczne to punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej, nieważkiej (czyli o pomijalnie małej masie) nici o długości l.

Wyobraźmy sobie zatem punktowe ciało o masie m zawieszone na nici, które następnie zostało odchylone wraz z nicią od pionu o pewien i puszczone. Takie ciało będzie wykonywało ruch harmoniczny wokół położenia równowagi (w położeniu równowagi nić jest ustawiona pionowo). Położenie ciała w pewnym momencie w czasie przedstawiono na Rys. 1.

Rys. 1.

Na ciało działają dwie siły - naciągu nici  i siła ciężkości . Ich wypadkową jest siła. Można ją rozłożyć na dwie składowe – równoległą do siły naciągu i prostopadłą do niej – ta druga będzie jednocześnie styczna do toru ruchu punktu w miejscu, w którym ten się akurat znajduje – oznaczmy tę siłę jako . Jest ona istotna w kontekście opisu ruchu harmonicznego punktu zawieszonego na nici, ponieważ długość łuku x (patrz Rys. 1.) możemy potraktować jako wychylenie ciała z położenia równowagi, a to właśnie wzdłuż tego łuku działa siła . Wykorzystując zależności trygonometryczne w trójkącie prostokątnym możemy zauważyć, że:

Gdzie  to przyspieszenie ziemskie.

Dla niewielkich kątów wychyleń  (wyrażonych w radianach) prawdziwa jest zależność: . Zatem:

Ponadto zauważamy, że  oraz przyjmujemy konwencję, że z wychyleniem ciała w prawo od położenia równowagi związana jest dodatnia wartość x, natomiast ponieważ siła  jest zwrócona w tym samym momencie w lewo, to zapiszemy ją jako ujemną. Stąd:

Jest to wzór na siłę, która spełnia warunki siły działającej na ciało w ruchu harmonicznym, możemy zatem stwierdzić, że dla niewielkich kątów wychylenia od pionu ruch wahadła matematycznego jest ruchem harmonicznym.

Możemy skorzystać z faktu, że wyznaczona powyżej siła jest siłą harmoniczną i na tej podstawie wyprowadzić wzór na częstość i okres drgań wahadła matematycznego.

Zatem częstość drgań wahadła matematycznego wynosi:

Wyprowadźmy teraz wzór na okres drgań:

Zauważmy, że okres drgań wahadła matematycznego nie zależy ani od jego masy, ani od amplitudy (ciągle przy założeniu niewielkich kątów wychyleń).

Warto nadmienić, że w przypadku dużych kątów wychylenia wahadła od pionu, wyprowadzony powyżej wzór na okres drgań przestaje być dokładny, okres zaczyna bowiem wtedy być zależny od amplitudy drgań.

Kolejną istotną obserwacją jest fakt, iż wykorzystując wahadło matematyczne i znając jego długość oraz mierząc okres jego drgań, jesteśmy w stanie przy wykorzystaniu powyższego wzoru obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego .

Przykład 1:

Potraktujmy kulkę o masie m = 0,5 kg zawieszoną na bardzo lekkiej (o pomijalnie małej masie) nici o długości l = 1,5 m jako wahadło matematyczne. Oblicz okres drgań tego wahadła. Oblicz również wartość składowej siły wypadkowej, która skierowana jest wzdłuż toru ruchu kulki, działającej na kulkę, w momencie gdy jej wychylenie z położenia równowagi wynosi x = 10 cm.

Rozwiązanie:

Obliczanie okresu:

Obliczanie siły:

Zadania do zrobienia:

1. Na pewnej planecie wahadło matematyczne drgało z częstotliwością 0,5 Hz, a jego długość wynosiła 0,5 m. Oblicz, ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na tej planecie.

Odp.:

2. Obok siebie postawiono wahadło matematyczne oraz masę zawieszoną na sprężynie. Oba układy wprawiono w drgania harmoniczne i wykonywały one je z taką samą częstotliwością. Masa ciężarka na sprężynie wynosiła m = 1 kg, a współczynnik sprężystości sprężyny był równy . Oblicz długość wahadła matematycznego.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-ruch-harmoniczny