Energia ciała wprawionego w ruch harmoniczny ciągle zmienia swoją formę.

Masa na sprężynie w kierunku poziomym

Przeanalizujmy najpierw te zmiany w przypadku ruchu harmonicznego masy na sprężynie w kierunku poziomym. Przypomnijmy, że energia potencjalna sprężystości wyraża się wzorem (patrz rozdział 3.3):

Gdzie  to stała sprężystości sprężyny, a  to wychylenie ciała z położenia równowagi.

Jako że , to otrzymujemy wzór:

Ciało w tym ruchu harmonicznym będzie posiadało również energię kinetyczną. Wiedząc, że , możemy zapisać:

Pamiętając ponadto, że:

Otrzymujemy następującą wersję wzoru na energię kinetyczną:

Dodanie do siebie energii potencjalnej sprężystości i energii kinetycznej daje nam całkowitą energię mechaniczną oscylatora:

Masa na sprężynie w kierunku pionowym

W ruchu masy na sprężynie w pionie poza energią kinetyczną i energią potencjalną sprężystości trzeba uwzględnić jeszcze energię potencjalną grawitacji (w przypadku ruchu w poziomie w każdym momencie ruchu ma ona taką samą wartość, więc nie ulega ona żadnej zmianie). Jej wartość to:

Gdzie  jest wysokością ponad arbitralnie przyjętym poziomem zerowym (poziomem odniesienia). Energia potencjalna grawitacji może zatem przyjmować różne wartości w zależności od tego gdzie akurat przyjmiemy ów poziom odniesienia. Całkowita energia mechaniczna oscylatora w tym przypadku jest sumą trzech energii:

Jeśli jako poziom odniesienia przyjmiemy punkt dokładnie pomiędzy położeniem równowagi a końcem nieobciążonej sprężyny, to wówczas całkowita energia mechaniczna będzie równa:

Wahadło matematyczne

W przypadku wahadła matematycznego nie mamy już do czynienia z energią potencjalną sprężystości, a jedynie z energią potencjalną grawitacji oraz energią kinetyczną. Na Rys. 1. przedstawiono wahadło matematyczne wprawione w ruch harmoniczny w pewnym momencie w czasie tego ruchu.

Rys. 1.

Najwygodniejszym i najbardziej naturalnym podejściem jest przyjęcie zerowego poziomu energii potencjalnej wahadła w jego najniższym położeniu. Zatem w sytuacji przedstawionej na powyższym rysunku:

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następujące równanie:

Ponieważ dopuszczamy jedynie niewielkie wychylenia, to możemy przyjąć z dobrym przybliżeniem, że . Zatem:

Stąd:

Jako że x jest o wiele większe od h (ponownie wynika to z faktu, że mamy do czynienia z niewielkim wychyleniem), to można przyjąć, że . Stąd:

Wiedząc, że , możemy zapisać wzór na energię potencjalną grawitacji:

Pamiętając z kolei, że  oraz że  można wyprowadzić wzór na energię kinetyczną:

W takiej sytuacji można też wyznaczyć wzór na całkowitą energię mechaniczną:

Zauważmy, że otrzymujemy wzór identyczny do tego dla masy na sprężynie wykonującej drgania w kierunku poziomym.

Zmiany form energii

Całkowita energia mechaniczna oscylatora harmonicznego jest stała w czasie. Wartości energii potencjalnej i kinetycznej ulegają natomiast ciągłej zmianie w czasie ruchu harmonicznego ciała. Energia potencjalna jest maksymalna, gdy ciało znajduje się w położeniu o maksymalnym wychyleniu z położenia równowagi – wówczas energia kinetyczna jest zerowa. Z kolei gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi to jego energia kinetyczna jest maksymalna, a energia potencjalna jest tu minimalna (zerowa, gdy przyjmiemy na odpowiedniej wysokości poziom odniesienia dla energii potencjalnej grawitacji).

Przykład 1:

Zawieszenie ciężarka o masie m = 0,05 kg na sprężynie spowodowało wydłużenie jej o . Następnie wprowadzono ów ciężarek w ruch harmoniczny, którego amplituda wynosiła . Oblicz całkowitą energię mechaniczną oscylatora.

Rozwiązanie:

Należy rozpocząć od wyprowadzenia wzoru na współczynnik sprężystości sprężyny. Korzystamy z faktu, że w położeniu równowagi wartości sił sprężystości i ciężkości są sobie równe:

Współczynnik sprężystości wstawiamy do wzoru na całkowitą energię mechaniczną oscylatora:

Przykład 2:

Wahadło matematyczne o masie 0,3 kg drga z częstotliwością 0,8 Hz. Amplituda drgań wynosi 10 cm. Oblicz wartość energii potencjalnej grawitacji i energii kinetycznej wahadła po upływie jednej sekundy od momentu rozpoczęcia ruchu. Faza początkowa jest zerowa. Przyjmij ponadto, że zerowy poziom energii potencjalnej znajduje się w najniższym możliwym położeniu wahadła.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na energię potencjalną grawitacji:

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz energię całkowitą masy drgającej na sprężynie w poziomie, jeśli , a amplituda wynosi 20 cm.

Odp.:

2. Na dwóch sprężynach połączonych szeregowo zawieszono ciężarek o masie 10 kg. Okres drgań takiego układu to 3,14 s. Jedna ze sprężyn ma współczynnik sprężystości równy 60 . Oblicz współczynnik sprężystości drugiej sprężyny oraz amplitudę drgań, jeśli energia całkowita układu to 7,5 N. Przyjmij, że energię całkowitą można obliczyć wykorzystując wzór .

Odp.: k = 120 , A = 0,5 m

3. Wahadło matematyczne o długości 20 cm rozpoczęło ruch z położenia równowagi. Po jakim czasie energia kinetyczna i energia potencjalna będą sobie równe?

Odp.: t0,112s

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-ruch-harmoniczny