Wielkości fizyczne opisujące fale

Każda z cząsteczek ośrodka w którym rozchodzi się fala drga z taką samą częstotliwością, którą nazywamy częstotliwością fali. Analogicznie, mówiąc o okresie fali, mówimy o okresie drgań dowolnej cząsteczki ośrodka. Zależność między częstotliwością fali  oraz jej okresem  jest następująca:

 Amplituda fali to po prostu amplituda takich drgań. Terminy te określają zachowanie ośrodka w jednym punkcie. Chcąc opisać rozchodzenie się fali całościowo, posługujemy się pojęciami prędkości fali oraz długości fali.

Długość fali to odległość między jej dwoma kolejnymi punktami, które są w tej samej fazie drgań (Rys. 1.).

Rys. 1.

Możemy zapisać:

, gdzie  to długość fali.

Powyższy rysunek obrazował przypadek fali poprzecznej. Dla np. drgającej podłużnie sprężyny definicja długości fali jest taka sama, w jej przypadku możemy ją określić np. jako odległość między kolejnymi zagęszczeniami jej zwojów.

W czasie okresu fala przebywa drogę równą swojej długości. Wzór na prędkość fali będzie zatem wyglądał następująco:

Gdzie  - długość fali,  – okres fali,  – częstotliwość fali, a  – prędkość fali.

Zależność amplitudy i natężenia fali od odległości od źródła

Amplituda jest jedną z wielkości fizycznych będących pośrednio miarę energii niesionej przez falę – im większa amplituda fali w danym punkcie, tym większa jest energia niesiona przez tę falę. Wartość amplitudy  w danym punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odległości tego punktu  od źródła fali. Możemy to zapisać w następujący sposób:

Dla każdej fali możemy również określić jej natężenie w danym punkcie. Definiujemy je jako iloraz jej mocy przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali. Mówi ono nam zatem ile energii fala przenosi przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu. Wzór na natężenia zapisujemy zatem w następujący sposób:

Gdzie:  – natężenie fali,  – moc fali, a  – powierzchnia prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali, przez którą przechodzi fala. Na przykład dla fali kulistej, która rozchodzi się równomiernie we wszystkich kierunkach w przestrzeni, powierzchnia ta będzie powierzchnią sfery o promieniu , a zatem wówczas: . Zatem w najogólniejszym przypadku fali kulistej rozchodzącej się w trójwymiarowej przestrzeni, jej natężenie jest równe:

Natężenie fali w danym punkcie jest zatem odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości tego punktu od źródła fali:

Stąd wynika następująca zależność pomiędzy natężeniem a amplitudą fali w danym punkcie:

Funkcja falowa fali harmonicznej

Szczególnym rodzajem fal są fale harmoniczne. W ich przypadku cząsteczki ośrodka wykonują drgania harmoniczne.

Rozważmy przypadek, gdzie koniec sprężyny poruszamy ruchem harmonicznym prostopadle do linii sprężyny. Uzyskamy zatem falę poprzeczną, ponieważ kierunek drgań cząsteczek jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali. Graficznie możemy przedstawić to jako falę harmoniczną rozchodzącą się wzdłuż osi x (patrz Rys. 2.).

Rys. 2.

Rysunek ten przedstawia wychylenie y określonego punktu sprężyny z położenia równowagi w zależności od jego współrzędnej x w jednym momencie w czasie t. Jest to obraz fali obserwowanej w płaszczyźnie drgań.

Punkt o współrzędnej  porusza się ruchem harmonicznym wzdłuż przyjętej przez nas wcześniej współrzędnej y. Równanie ruchu tego punktu zapisujemy zatem w następujący sposób:

,

gdzie: – amplituda drgań,   – faza początkowa,  – częstość kołowa drgań,  – chwila, w której wychylenie wynosi .

Wybierając punkt o innej współrzędnej należy pamiętać, że fala dochodzi do niego po czasie  , gdzie  jest prędkością fali. Oznacza to, że wychylenie wybranego punktu będzie takie jak wychylenie punktu o współrzędnej  w chwili o  wcześniejszej. Możemy zapisać to w następujący sposób:

W związku z tym:

Jest to wzór ogólny na funkcję falową fali harmonicznej. Możemy z niego wyciągnąć niego następujące wnioski:

1. Dla punktów, których współrzędne  różnią się o , drgania odbywają się w tej samej fazie.

Można ów wniosek uzasadnić następująco. Dla punktu, którego współrzędna wynosi  , argument sinusa wygląda następująco:

to okres funkcji sinus, oznacza to zatem, że funkcja ta przyjmuje taką samą wartość dla punktów o współrzędnych  oraz .

2. Dla punktów, których współrzędne  różnią się o  argument funkcji sinus różni się o . Oznacza to, że drgania w tych punktach odbywają się w przeciwnych fazach (tzw. przeciwfazach lub przeciwfazie).

Wyprowadzony powyżej wzór na funkcję falową fali harmonicznej jest prawdziwy również w przypadku fali podłużnej. W jej przypadku  na pionowej osi mówi nam o liczbie drgających cząsteczek na jednostkę długości w zależności od współrzędnej x i czasu t.

Zauważmy, że funkcja falowa jest funkcją dwóch zmiennych, położenia  oraz czasu . Wykres takiej funkcji jest powierzchnią w trójwymiarowej przestrzeni – sporządzimy go odkładając zmienne  i  na dwóch osiach np. w płaszczyźnie poziomej, a wartość funkcji  na osi prostopadłej do tej płaszczyzny. Przykładowy wykres funkcji  dla fali harmonicznej przedstawiono na Rys. 3.

Rys. 3.

Przykład 1:

Rozważmy harmoniczną falę poprzeczną, której amplituda  długość  oraz prędkość . Fala przemieszcza się zgodnie ze zwrotem osi x. W chwili początkowej  w punkcie  wychylenie drgającej cząsteczki ośrodka jest zerowe, a jej prędkość chwilowa jest skierowana w górę. Oblicz o ile centymetrów i w którą stronę względem osi x będzie wychylona cząsteczka ośrodka w chwili  znajdująca się w punkcie

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać to zadanie, musimy posłużyć się równaniem funkcji falowej. Dla wychylenia początkowego równego zero, funkcja ta wygląda następująco:

Znając zależność między okresem drgań a częstością kołową, możemy zapisać:

Wiemy także, że prędkość fali można obliczyć ze wzoru:

Po przekształceniu, otrzymujemy:

Po podstawieniu obliczonego okresu do wzoru na częstość kołową otrzymujemy:

Podstawiamy obliczone wartości oraz  i  do równania funkcji falowej:

Znak minus świadczy o tym, że cząsteczka będzie wychylona o 2,90 cm w dół względem osi x.

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz prędkość fali  wytworzonej na powierzchni wody, wiedząc, że odległość między jej kolejnymi grzbietami wynosi 1m, a znajdująca się na powierzchni łódka przebywa drogę od maksymalnego wychylenia w dół do maksymalnego wychylenia w górę w czasie 5 s.

Odp.:

2. Oblicz o ile centymetrów wychyli się sprężyna ze swojego położenia równowagi dla czasu   w punkcie , wiedząc, że w sprężynie rozchodzi się fala harmoniczna poprzeczna, której amplituda  długość   oraz prędkość . W chwili początkowej  w punkcie  wychylenie tej sprężyny jest zerowe, a prędkość chwilowa jest skierowana w górę.

Odp.:

3. Oblicz w jakiej odległości s od ściany znajduje się człowiek, jeśli czas zmierzony od klaśnięcia aż do usłyszeniem przez człowieka jego echa wynosi 0,68 s. Przyjmij, że prędkość dźwięku w powietrzu to 344.

Odp.:  m

4. Oblicz stosunek natężeń fali odbieranej najpierw z odległości , a następnie z odległości  od źródła tej fali.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-fale-mechaniczne