Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów
Często spotykamy się z sytuacją, gdy źródeł fal jest kilka. Opis takiego zjawiska jest bardziej skomplikowany niż w przypadku, gdy fala rozchodzi się z pojedynczego źródła.
Rozważmy następującą sytuację: dwie osoby trzymają długi sznur za jego przeciwne końce, naciągają go, po czym każda z osób porusza końcem sznura w swoją lewą stronę i z powrotem.
Patrząc na powyższe doświadczenie z góry zauważymy przemieszczające się w przeciwnych kierunkach impulsy falowe, wybrzuszone w przeciwne strony. Rozchodzą się one niezależnie do siebie, natomiast gdy się spotkają – przenikają się i biegną dalej każdy w swoją stronę jak na Rys. 1.
Rys. 1.
W momencie spotkania impulsów zachodzi ich nakładanie się na siebie. Wychylenie sznura w tym momencie jest sumą wychyleń poszczególnych impulsów. Zjawisko to nosi zasady superpozycji fal i jest powszechne dla wszystkich fal mechanicznych. Możemy opisać to w następujący sposób: wszystkie fale docierające do jednego punktu w przestrzeni nakładają się na siebie. Wychylenie fali w tym punkcie jest sumą wychyleń wszystkich fal, które docierają do tego punktu w danej chwili. Dzieje się tak, ponieważ fale rozchodzą się niezależnie od siebie.
Fale stojące
Rozważmy sytuację, w której jeden koniec sznurka mocujemy nieruchomo do ściany, a jego drugim końcem poruszamy w górę i w dół.
Obserwujemy nakładanie się na siebie dwóch fal: fala wywołana przez ruch ręki nakłada się na falę odbitą od ściany, która biegnie w przeciwną stronę. Są to zatem dwie fale harmoniczne o jednakowej częstotliwości, jednakowej amplitudzie i biegnące w przeciwne strony wzdłuż tej samej prostej.
Powstała w wyniku nałożenia się tych dwóch fal nowa fala nosi nazwę fali stojącej. Nie przesuwa się ona wzdłuż sznurka, lecz pozostaje w jednym miejscu. Możemy przedstawić to schematycznie za pomocą rysunku (Rys. 2.). W dolnej jego części przedstawiona jest kształt fali stojącej w dwóch różnych chwilach w czasie odległych od siebie o połowę okresu drgań tejże fali (linia ciągła oraz przerywana).
Rys. 2.
Niektóre z punktów znacznie wychylają się z położenia równowagi, inne nie drgają wcale. Punkty o maksymalnej amplitudzie drgań to strzałki (oznaczone literą S), natomiast punkty, które w ogóle nie wychylają się z położenia równowagi nazywamy węzłami (oznaczone literą W). Są one rozmieszczone naprzemiennie. Jak widać na Rys. 2., odległość między dwoma węzłami jest równa odległości między dwoma strzałkami. Jest to z kolei połowa długości fali . Możemy zatem zapisać, że:
Zatem odległość między najbliższymi sobie węzłem i strzałką jest równa:
Każda ze składowych fal stojących niesie taką samą energię, lecz w przeciwną stronę. Oznacza to, że wypadkowa energia niesiona przez falę stojącą jest zerowa.
Matematyczny opis fali stojącej
Pamiętamy, że równanie fali biegnącej wzdłuż osi x wygląda w następujący sposób:
Gdy taka fala ulegnie odbiciu, zmienia się kierunek jej biegu, a zatem zwrot jej prędkości także ulega zmianie na przeciwny (stąd znak minusa przy ). Między falami biegnącymi w przeciwne strony może wystąpić przesunięcie fazowe . Równanie ruchu fali dla fali odbitej wygląda zatem następująco:
Fala, która powstaje po nałożeniu się fali padającej i odbitej jest tzw. falą wypadkową. Zachodzi dla niej:
Korzystając ze wzoru na sumę sinusów oraz upraszczając wynikowy wzór, otrzymamy:
Wyrażenie opisuje ruch harmoniczny z częstością kołową i przesunięciem fazowym
Wyrażenie w wartości bezwzględnej pełni funkcję amplitudy, która jest stała dla określonego punktu, ale inna dla różnych punktów. Nie zależy ona natomiast od czasu. W punktach dla których amplituda jest maksymalna – a więc cosinus przyjmie wówczas wartości 1 lub -1 – znajdują się strzałki, z kolei w punktach, dla których cosinus wynosi zero, znajdują się węzły fali stojącej.
Przykład 1:
Rozważmy dwie fale o takich samych częstotliwościach f, takich samych amplitudach A i biegnących w tę samą stronę, przesuniętych względem siebie o 1/6 okresu. Oblicz częstotliwość, amplitudę i przesunięcie fazowe fali, która będzie wynikiem superpozycji powyższych fal.
Rozwiązanie:
Drgania wywołane przez pierwszą z podanych fal możemy opisać równaniem:
Pamiętamy, że Z treści zadania wiemy, że drgania drugiej fali są przesunięte o . W danej chwili t wychylenie tej fali w danym punkcie jest równe wychyleniu pierwszej fali w chwili Możemy zatem zapisać:
Przekształcając wzór na częstość kołową i podstawiając otrzymany okres do powyższego równania, otrzymujemy:
Z zasady superpozycji fal wynika, że:
Sumując zatem powyższe równania otrzymamy łączne wychylenie fali w interesującym nas punkcie:
Stosując wzór na sumę sinusów, przeprowadzamy końcowe obliczenia:
Z takiej postaci naszego równania możemy wysnuć następujące wnioski, będące jednocześnie odpowiedzią do naszego zadania:
1. Amplituda fali wypadkowej jest równa , gdzie A jest amplitudą fal składowych
2. Przesunięcie fazowe powstałej fali jest wynosi
3. Częstość kołowa otrzymanej w wyniku superpozycji fali jest taka sama jak częstość kołowa fal składowych, zatem jej częstotliwość również jest równa częstotliwości fal składowych
Zadania do zrobienia:
1. Oblicz amplitudę fali, która powstała w wyniku superpozycji fal o takich samych częstotliwościach f, takiej samej amplitudzie A i biegnących w tę samą stronę, przesuniętych względem siebie o pół okresu.
Odp.: A = 0, fale całkowicie wzajemnie się wygaszą
Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:
https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-fale-mechaniczne-2