Często spotykamy się z sytuacją, gdy źródeł fal jest kilka. Opis takiego zjawiska jest bardziej skomplikowany niż w przypadku, gdy fala rozchodzi się z pojedynczego źródła.

Rozważmy następującą sytuację: dwie osoby trzymają długi sznur za jego przeciwne końce, naciągają go, po czym każda z osób porusza końcem sznura w swoją lewą stronę i z powrotem.

Patrząc na powyższe doświadczenie z góry zauważymy przemieszczające się w przeciwnych kierunkach impulsy falowe, wybrzuszone w przeciwne strony. Rozchodzą się one niezależnie do siebie, natomiast gdy się spotkają – przenikają się i biegną dalej każdy w swoją stronę jak na Rys. 1.

Rys. 1.

W momencie spotkania impulsów zachodzi ich nakładanie się na siebie. Wychylenie sznura w tym momencie jest sumą wychyleń poszczególnych impulsów. Zjawisko to nosi zasady superpozycji fal i jest powszechne dla wszystkich fal mechanicznych. Możemy opisać to w następujący sposób: wszystkie fale docierające do jednego punktu w przestrzeni nakładają się na siebie. Wychylenie fali w tym punkcie jest sumą wychyleń wszystkich fal, które docierają do tego punktu w danej chwili. Dzieje się tak, ponieważ fale rozchodzą się niezależnie od siebie.

Fale stojące

Rozważmy sytuację, w której jeden koniec sznurka mocujemy nieruchomo do ściany, a jego drugim końcem poruszamy w górę i w dół.

Obserwujemy nakładanie się na siebie dwóch fal: fala wywołana przez ruch ręki nakłada się na falę odbitą od ściany, która biegnie w przeciwną stronę. Są to zatem dwie fale harmoniczne o jednakowej częstotliwości, jednakowej amplitudzie i biegnące w przeciwne strony wzdłuż tej samej prostej.

Powstała w wyniku nałożenia się tych dwóch fal nowa fala nosi nazwę fali stojącej. Nie przesuwa się ona wzdłuż sznurka, lecz pozostaje w jednym miejscu. Możemy przedstawić to schematycznie za pomocą rysunku (Rys. 2.). W dolnej jego części przedstawiona jest kształt fali stojącej w dwóch różnych chwilach w czasie odległych od siebie o połowę okresu drgań tejże fali (linia ciągła oraz przerywana).

Rys. 2.

Niektóre z punktów znacznie wychylają się z położenia równowagi, inne nie drgają wcale. Punkty o maksymalnej amplitudzie drgań to strzałki (oznaczone literą S), natomiast punkty, które w ogóle nie wychylają się z położenia równowagi nazywamy węzłami (oznaczone literą W). Są one rozmieszczone naprzemiennie. Jak widać na Rys. 2., odległość między dwoma węzłami jest równa odległości między dwoma strzałkami. Jest to z kolei połowa długości fali . Możemy zatem zapisać, że:

Zatem odległość między najbliższymi sobie węzłem i strzałką jest równa:

Każda ze składowych fal stojących niesie taką samą energię, lecz w przeciwną stronę. Oznacza to, że wypadkowa energia niesiona przez falę stojącą jest zerowa.

Matematyczny opis fali stojącej

Pamiętamy, że równanie fali biegnącej wzdłuż osi x wygląda w następujący sposób:

Gdy taka fala ulegnie odbiciu, zmienia się kierunek jej biegu, a zatem zwrot jej prędkości także ulega zmianie na przeciwny (stąd znak minusa przy ). Między falami biegnącymi w przeciwne strony może wystąpić przesunięcie fazowe . Równanie ruchu fali dla fali odbitej wygląda zatem następująco:

Fala, która powstaje po nałożeniu się fali padającej i odbitej jest tzw. falą wypadkową. Zachodzi dla niej:

Korzystając ze wzoru na sumę sinusów oraz upraszczając wynikowy wzór, otrzymamy:

Wyrażenie  opisuje ruch harmoniczny z częstością kołową  i przesunięciem fazowym  

Wyrażenie  w wartości bezwzględnej pełni funkcję amplitudy, która jest stała dla określonego punktu, ale inna dla różnych punktów. Nie zależy ona natomiast od czasu. W punktach dla których amplituda jest maksymalna – a więc cosinus przyjmie wówczas wartości 1 lub -1 – znajdują się strzałki, z kolei w punktach, dla których cosinus wynosi zero, znajdują się węzły fali stojącej.

Przykład 1:

Rozważmy dwie fale o takich samych częstotliwościach f, takich samych amplitudach A i biegnących w tę samą stronę, przesuniętych względem siebie o 1/6 okresu. Oblicz częstotliwość, amplitudę i przesunięcie fazowe fali, która będzie wynikiem superpozycji powyższych fal.

Rozwiązanie:

Drgania wywołane przez pierwszą z podanych fal możemy opisać równaniem:

Pamiętamy, że  Z treści zadania wiemy, że drgania drugiej fali są przesunięte o  . W danej chwili t wychylenie tej fali w danym punkcie jest równe wychyleniu pierwszej fali w chwili  Możemy zatem zapisać:

Przekształcając wzór na częstość kołową i podstawiając otrzymany okres do powyższego równania, otrzymujemy:

Z zasady superpozycji fal wynika, że:

Sumując zatem powyższe równania otrzymamy łączne wychylenie fali w interesującym nas punkcie:

Stosując wzór na sumę sinusów, przeprowadzamy końcowe obliczenia:

Z takiej postaci naszego równania możemy wysnuć następujące wnioski, będące jednocześnie odpowiedzią do naszego zadania:

1. Amplituda fali wypadkowej jest równa , gdzie A jest amplitudą fal składowych

2. Przesunięcie fazowe powstałej fali jest wynosi

3. Częstość kołowa otrzymanej w wyniku superpozycji fali jest taka sama jak częstość kołowa fal składowych, zatem jej częstotliwość również jest równa częstotliwości fal składowych

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz amplitudę fali, która powstała w wyniku superpozycji fal o takich samych częstotliwościach f, takiej samej amplitudzie A i biegnących w tę samą stronę, przesuniętych względem siebie o pół okresu.

Odp.: A = 0, fale całkowicie wzajemnie się wygaszą

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-fale-mechaniczne-grawitacja-i-kosmologia