Jeżeli źródło dźwięku drga harmonicznie (np. kamerton) to wytwarza tak zwany ton czysty, nazywany również dźwiękiem prostym.

Instrumenty muzyczne wytwarzają dźwięki złożone, które są przyjemniejsze dla ucha człowieka niż proste dźwięki. Dźwięki złożone składają się z dźwięków prostych o różnych częstotliwościach. To, jaką barwę ma dany dźwięk (jakie jest widmo dźwięku), zależy od amplitud jego dźwięków składowych.

Istnieją różne programy pozwalające przeanalizować widmo zarejestrowanego dźwięku, czyli wykreślić wykres zależności np. poziomu natężenia dźwięku od jego częstotliwości – taki wykres mówi nam z jakich częstotliwości składowych (związanych z dźwiękami prostymi) składa się dźwięk złożony. Na Rys. 1. zawarto taki przykładowy wykres. Najniższą występującą w nim częstotliwość , dla której poziom natężenia dźwięku (wielkość związana bezpośrednio z głośnością dźwięku) jest wysoki (osiąga maksimum) nazywa się częstotliwością podstawową (pierwszą harmoniczną). Z Rys. 1. możemy odczytać, że w tym przypadku częstotliwość podstawowa jest równa ok. 300 Hz. Częstotliwość każdego kolejnego maksimum jest wielokrotnością częstotliwości podstawowej. Te kolejne częstotliwości nazywamy odpowiednio drugą harmoniczną , trzecią harmoniczną  itd. Wszystkie fale wchodzące w skład danego dźwięku nazywamy składowymi harmonicznymi. Amplituda kolejnych składowych harmonicznych jest coraz mniejsza.

Rys. 1.

Fala stojąca na strunie

Na strunie powstają fale stojące o ściśle określonych długościach. Dzięki temu drgania struny są źródłem fal o różnych, ale ściśle określonych częstotliwościach. Struna instrumentu jest unieruchomiona z obu stron, zatem na jej końcach znajdują się węzły fali. Pomiędzy nimi musi się znaleźć co najmniej jedna strzałka, ale może być ich też więcej – wówczas pojawia się również odpowiednio więcej węzłów, ponieważ węzły oraz strzałki muszą być ułożone naprzemiennie. Na Rys. 2. przedstawiono dwie różne fale stojące utworzone na strunie o długości L.

Rys. 2.

W sytuacji gdy obecna jest tylko jedna strzałka (lewa część rysunku), zachodzi następująca zależność:  gdzie  to długość fali stojącej wytworzonej na strunie. Jest to przypadek, w którym na długości struny mieści się jedna połówka fali stojącej i jednocześnie fala stojąca wytworzona na danej strunie ma wówczas największą możliwą długość. W prawej części rysunku widzimy przypadek, w którym została o jeden zwiększona liczba zarówno węzłów, jak i strzałek. W tej sytuacji , na długości struny mieszczą się dwie połówki długości fali. Rozważając kolejne fale stojące, w których zwiększać będziemy liczbę węzłów i strzałek zauważymy, że liczba połówek długości fali umieszczonych na długości struny jest równa liczbie strzałek rozpatrywanej fali stojącej. Długość fali można zatem wyrazić poprzez długość struny L i liczbę strzałek n:

Wiedząc, że , otrzymujemy także następującą zależność:

Gdzie n jest liczbą strzałek i jest to jednocześnie numer kolejnej harmonicznej w przypadku dźwięku złożonego. Wynika z tego, że kolejne częstotliwości fal stojących ( itd.) są całkowitymi wielokrotnościami n częstotliwości podstawowej .

Fale stojące w słupie powietrza

Jedną z grup instrumentów są instrumenty dęte. Drgający w ich wnętrzu słup powietrza powoduje powstanie fali dźwiękowej. Rozpatrzmy dwa podstawowe rodzaje takich instrumentów – piszczałkę zamkniętą i otwartą.

Piszczałka zamknięta

Piszczałka zamknięta to podłużne naczynie zamknięte na jednym końcu. Wdmuchując powietrze do środka przez otwarty koniec, pobudzamy je do drgań. Z kolei na drugim końcu naczynia (zamkniętym) powietrze pozostaje nieruchome – powstaje tam węzeł fali, natomiast w miejscu wydmuchiwania (przy otwartym końcu) – strzałka fali stojącej.

Między strzałką i węzłem może znajdować się więcej strzałek i węzłów (analogicznie jak w przypadku struny) – mogą powstawać kolejne harmoniczne. Pierwsze trzy przedstawiono na Rys. 3.

Rys. 3.

Zauważmy, że w pierwszym przypadku na długości piszczałki mieści się ¼ długości fali, zatem: . W przypadku drugiej harmonicznej na długości piszczałki mieści się ¾ długości fali, zatem . Rozpatrując każdą kolejną harmoniczną dodajemy kolejną połówkę długości fali mieszczącą się na długości piszczałki, a zatem ogólny wzór na długość fali stojącej będącej n-tą harmoniczną jest następujący:

Wiedząc, że , otrzymujemy również wzór na częstotliwość n-tej harmonicznej:

A zatem częstotliwości kolejnych harmonicznych w przypadku piszczałki zamkniętej są kolejnymi nieparzystymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej.

Piszczałka otwarta

Piszczałka otwarta to obustronnie otwarta rurka. Na końcach tej rurki znajdują się strzałki fali stojącej. Między nimi znajduje się jeden lub więcej węzłów (jeśli węzłów jest więcej niż jeden, to odpowiednio rośnie również liczba dodatkowych strzałek pomiędzy końcami) – pierwsze trzy przypadki przedstawiono na Rys. 4.

Rys. 4.

Gdy istnieje tylko pojedynczy węzeł, to długość fali stojącej jest dwukrotnie większa od długości piszczałki, czyli . Gdy między końcami piszczałki znajdują się dwa węzły, to długość powstającej fali stojącej jest równa długości piszczałki, czyli  itd. Zatem ogólny wzór na długość fali stojącej będącej n-tą harmoniczną jest następujący:

Z kolei częstotliwości kolejnych harmonicznych w przypadku piszczałki otwartej to:

Przykład 1:

Rozważmy strunę, która wytwarza dźwięk o częstotliwości podstawowej . Wiedząc, że długość struny oblicz prędkość rozchodzenia się fali dźwiękowej w tej strunie.

Rozwiązanie:

Dla struny długość fali odpowiadającej częstotliwości podstawowej jest dwa razy większa od długości struny. Możemy zatem zapisać:

Podstawiając dane z zadania otrzymujemy:

Wiedząc, że prędkość rozchodzenia się fali to iloczyn jej długości i częstotliwości, zapisujemy:

Zadania do zrobienia:

1. Do obustronnie otwartej rury przyłożono źródło dźwięku wydające ton o częstotliwości 590 Hz. Oblicz najkrótszą długość rury, dla której w rurze pojawi się fala stojąca. Przyjmij, że prędkość dźwięku w powietrzu w temperaturze 20 wynosi 344.

Odp.: około 0,29 m

2. Wyznacz największą długość fali stojącej  możliwą do wytworzenia w gwizdku przy założeniach, że można go potraktować jak jednostronnie zamkniętą piszczałkę i mierzy on 5 cm długości.

Odp.:

3. Oblicz długość struny która wytwarza dźwięk o częstotliwości podstawowej . Prędkość rozchodzącej się w strunie fali dźwiękowej wynosi .

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-fale-mechaniczne-grawitacja-i-kosmologia