Obserwując poruszające się źródło dźwięku – np. przejeżdżającą obok karetkę, która wydaje sygnał dźwiękowy – zauważamy, że odbierana przez nas częstotliwość dźwięku jest inna (większa lub mniejsza) niż gdy słyszymy tą samą karetkę, która pozostaje w spoczynku. Zjawisko to nazywamy efektem Dopplera lub zjawiskiem Dopplera.

Zjawisko Dopplera łatwo zaobserwować dla fal rozchodzących się po powierzchni wody. Rozważmy sytuację przedstawioną na Rys. 1.: obserwator stoi na końcu podłużnego basenu o długości 4,5 m (w punkcie x). Na wprost obserwatora, w jego stronę, płynie człowiek. Przyjmijmy, że bok kratki odpowiada długości 0,5 m, a sytuacja przedstawiona jest w widoku z góry. W chwili człowiek zaczyna płynąć wzdłuż basenu z prędkością wywołując falę o częstotliwości 1 Hz, której długość jest równa  a jej prędkość to  (część a) Rys. 1.).

Rys. 1.

W chwili  pływak znajduje się jeden metr dalej. Wysłana przez niego przed sekundą fala zbliżyła się do obserwatora o 1,5 m, jednak chwili  wyprzedza pływaka jedynie o 0,5 m (część b) Rys. 1.).

W chwili  na wodzie można zaobserwować dwa okręgi – są to fale powstałe w chwilach oraz  (część c) Rys. 1.).

Dla chwili  (część d) Rys. 1.) obserwator widzi, jak do brzegu dociera pierwsza fala wysłana w chwili , a kolejne fale wysłane w chwilach  oraz  docierają z opóźnieniem  Dzieje się tak, ponieważ odległość między poszczególnymi kręgami (grzbietami fal) wynosi 0,5 m. Rejestrowana przez obserwatora częstotliwość będąca odwrotnością okresu wynosi zatem 3 Hz. Jest więc większa niż częstotliwość fal emitowanych przez pływaka.

Analogicznie, gdyby pływak oddalał się od obserwatora, to rejestrowana przez obserwatora częstotliwość fal byłaby mniejsza niż częstotliwość fal emitowanych przez pływaka (kolejne grzbiety fali docierałyby do brzegu w odległościach większych niż długość fali, a zatem częstotliwość rejestrowanej fali byłaby mniejsza).

Efekt Dopplera zachodzi dla wszystkich fal, także dla fal dźwiękowych. Rozpatrując karetkę poruszającą się z włączonych sygnałem dźwiękowym, widzimy, że kolejne powierzchnie maksymalnego zagęszczenia powietrza („grzbiety” fali dźwiękowej) emitowane są z różnych punktów. Sytuacja ta została przedstawiona schematycznie na Rys. 2.

Rys. 2.

Karetka (schematycznie zaznaczona czerwonym okręgiem) zbliża się do obserwatora znajdującego się w punkcie Y (część a)). Grzbiety emitowanej przez karetkę fali dźwiękowej docierają do niego częściej niż w sytuacji, kiedy pojazd stoi nieruchomy (część b)). Oznacza to, że fala rejestrowana przez obserwatora Y ma większą częstotliwość i mniejszą długość niż fala emitowana przez karetkę. Jednocześnie w części a) Rys. 2. karetka oddala się od obserwatora znajdującego się w punkcie X, który rejestruje docierające do niego kolejne grzbiety fali w dłuższych odstępach czasu niż w sytuacji gdy karetka jest nieruchoma. Oznacza to, że fala rejestrowana przez obserwatora X ma mniejszą częstotliwość i większą długość niż fala emitowana przez karetkę.

Źródło zbliżające się do obserwatora

Powyższe sytuacje można opisać pewnymi równaniami. Rozważmy sytuację, w której źródło dźwięku emitujące falę o częstotliwości zbliża się do obserwatora znajdującego się w punkcie Y. Źródło to porusza się z prędkością, którą nazwiemy . Długość fali dźwiękowej wysyłanej przez źródło możemy zapisać jako  gdzie  jest prędkością dźwięku (fali). W czasie jednego okresu T, fala dźwiękowa przebywa drogę równą swojej długości. W tym samym czasie T źródło przebywa drogę W związku z tym kolejne grzbiety fali dochodzącej do obserwatora nie są od siebie odległe o lecz o  Pamiętając ponadto, że  możemy zapisać:

Wiemy, że fala dźwiękowa rozchodzi się w powietrzu ze stałą prędkością niezależnie od tego, jak zachowuje się źródło. Częstotliwość fali rejestrowanej przez obserwatora możemy zatem zapisać następująco:

Stąd:

Porównując ze sobą otrzymane powyżej na dwa sposoby wzory na długość fali rejestrowanej przez obserwatora, otrzymamy:

Gdzie częstotliwość fali rejestrowana przez obserwatora, częstotliwość dźwięku emitowana ze źródła, prędkość źródła, prędkość dźwięku w powietrzu.

Na podstawie powyższego wzoru widać, że wraz ze zwiększaniem prędkości źródła maleje mianownik ułamka. Rejestrowana przez obserwatora częstotliwość jest zatem większa od częstotliwości emitowanej przez źródło. Im szybciej zbliża się do obserwatora źródło dźwięku, tym wyższy dźwięk obserwator rejestruje. Co ważne, wzór ten obowiązuje tylko w przypadku gdy .

Źródło oddalające się do obserwatora

Analogicznie jesteśmy w stanie ustalić jaką częstotliwość będzie rejestrował obserwator, jeśli źródło fali będzie się od niego oddalać. W tym wypadku długość fali rejestrowanej przez odbiorcę jest równa sumie długości fali wysyłanej przez źródło i drogi pokonanej przez źródło, czyli . Wykonując ten sam szereg przekształceń co w poprzedniej sytuacji, otrzymujemy:

Możemy zatem wysnuć wniosek, że zwiększenie prędkości oddalania się źródła powoduje zmniejszenie częstotliwości dźwięku rejestrowanego przez obserwatora.

Poruszający się obserwator

Oczywiście nie tylko źródło fali może się przemieszczać, ale i sam obserwator może się poruszać. Rozważmy najpierw przypadek, w którym obserwator zbliża się do nieruchomego źródła. W danej sytuacji obserwator porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku rozchodzenia się fali z prędkością . Źródło emituje sygnał o stałej częstotliwości  i stałym okresie . Do obserwatora dociera pierwszy grzbiet fali wyemitowanej przez źródło. Jeśli obserwator byłby nieruchomy, czas dla jednej długości fali dźwięku do przejścia powinien być równy okresowi źródła T. Ponieważ obserwator porusza się w stronę źródła, czas na przebycie jednej długości fali jest mniejszy niż  i wynosi . Obserwator rozpoczyna ruch, spotykając czoło fali i poruszając się dalej w kierunku następnego czoła fali, skracając tym samym czas jego spotkania. Długość fali rejestrowanej przez obserwatora jest równa długości fali emitowanej ze źródła, pomniejszonej o drogę pokonaną przez obserwatora. Zatem długość fali emitowanej ze źródła  jest równa odległości jaką przebyła fala do momentu spotkania z obserwatorem zsumowanej z odległością przebytą przez obserwatora. Zatem:

Przekształcając tę zależność dalej, otrzymujemy:

Częstotliwość fali rejestrowanej w tym przypadku przez obserwatora jest większa niż częstotliwość fali emitowanej ze źródła.

Analogicznie, dla obserwatora oddalającego się od źródła zajdzie sytuacja odwrotna. Przeprowadzając podobne rozumowanie co w poprzednim przypadku, możemy stwierdzić, że częstotliwość fali rejestrowanej przez obserwatora oddalającego się od nieruchomego źródła możemy wyrazić wzorem:

Częstotliwość fali rejestrowanej w tym przypadku przez obserwatora jest mniejsza niż częstotliwość fali emitowanej ze źródła.

Poruszające się źródło i obserwator

Wyprowadzone powyżej wzory w sytuacjach gdy porusza się źródło oraz obserwator można ze sobą powiązać i zapisać je w postaci jednej uogólnionej formuły obejmującej wszystkie możliwe przypadki, w tym jednoczesnego ruchu źródła oraz obserwatora:

Gdzie częstotliwość rejestrowana przez obserwatora, częstotliwość fali emitowana ze źródła, prędkość źródła, prędkość danej fali mechanicznej w rozpatrywanym ośrodku (będzie to najczęściej prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu). Działa on dla wszystkich fal mechanicznych przy założeniu, że prędkość źródła i prędkość obserwatora są mniejsze od v.

Efekt Dopplera w przyrodzie i technice

Efekt Dopplera zachodzi dla każdego rodzaju fal. Zastosowanie go obserwujemy przede wszystkim w przyrodzie, technice i medycynie. Niektóre zwierzęta, takie jak nietoperze czy delfiny, używają ultradźwięków, aby poznać lokalizację innych obiektów, a także określić ich prędkości. Medyczne zastosowanie efektu Dopplera opiera się głównie na pomiarach prędkości przepływu krwi w naczyniach krwionośnych lub sercu. Fala dźwiękowa wysyłana przez specjalną sondę odbija się od czerwonych krwinek i wraca jako echo. Wykonując odpowiednie obliczenia na częstotliwościach fali wysłanej i odbitej, jesteśmy w stanie określić prędkość przepływu krwi. W technice posługujemy się zjawiskiem Dopplera zwłaszcza podczas pomiarów prędkości. Radary do pomiaru prędkości pojazdów działają na podobnej zasadzie co sonda medyczna. Wysyłają falę o określonej częstotliwości, która odbija się od pojazdu i wraca. Na podstawie odczytu częstotliwości odbitych fal możemy określić prędkość pojazdu. Podobnie działa to w przypadku radarów lotniczych, które dzięki wykorzystywaniu efektu echa pozwalają na określenie położenia obiektów w przestrzeni powietrznej.

Przykład 1:

Rozważmy następującą sytuację: źródło emituje falę dźwiękową o częstotliwości 30 kHz i porusza się wzdłuż osi x z prędkością o wartości . Obserwator porusza się wzdłuż tej samej osi z prędkością o wartości  i znajduje się cały czas na prawo od źródła (patrz rysunek poniżej).

Oblicz jaką maksymalną długość fali może rejestrować w tej sytuacji obserwator. Ustal jakie zwroty mają wówczas wektor prędkości źródła i wektor prędkości obserwatora. Przyjmij, że prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu jest równa .

Rozwiązanie:

Maksymalna długość fali odpowiada minimalnej częstotliwości. Wiemy, że w ogólnym przypadku zjawisko Dopplera możemy opisać następującym wzorem:

Ustalmy, jakie znaki – a co za tym jakie zwroty wektorów prędkości – otrzymamy w naszym przypadku. Szukana częstotliwość rejestrowana przez obserwatora musi być jak najmniejsza. Oznacza to, że ułamek mnożący  musi być jak najmniejszy. Sytuacja taka będzie mieć miejsce, gdy licznik danego ułamka będzie jak najmniejszy, mianownik natomiast jak największy. Oznacza to, że szukany przez nas wzór będzie wyglądał następująco:

Znaki te obowiązują, gdy obserwator oddala się od źródła, a jednocześnie źródło oddala się od obserwatora. Obserwator będzie się zatem poruszał zgodnie ze zwrotem osi x, natomiast źródło przeciwnie do zwrotu osi x.

Podstawiając wartości liczbowe z treści zadania, otrzymujemy:

Długość fali rejestrowanej przez obserwatora możemy obliczyć dzieląc jej prędkość, równą prędkości rozchodzenia się dźwięku w powietrzu przez otrzymaną częstotliwość. Zatem:

Zadania do zrobienia:

1. Obok mężczyzny siedzącego na ławce przejeżdża karetka z prędkością . Zauważa on, że wraz z oddalaniem się karetki, rejestrowany przez niego dźwięk zdaje mu się być niższy. Wyraź za pomocą częstotliwości fali emitowanej przez karetkę f częstotliwość dźwięku rejestrowanego przez mężczyznę, przy założeniu, że prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 340.

Odp.:

2. Źródło emituje falę dźwiękową o częstotliwości 18  Oblicz częstotliwość fali rejestrowanej przez obserwatora, wiedząc, że porusza się on zgodnie ze zwrotem osi x z prędkością , a źródło porusza się w kierunku przeciwnym z prędkością . Przyjmij, że prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu jest równa .

Odp.:

3. Oblicz częstotliwość fali dźwiękowej emitowanej ze źródła wiedząc, że w sytuacji, gdy źródło pozostaje w spoczynku, a obserwator zbliża się do niego z prędkością rejestruje on falę o częstotliwości   Przyjmij, że prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu jest równa .

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-ruch-harmoniczny-fale-mechaniczne