Na samym początku wyprowadźmy niezwykle przydatny i uniwersalny wzór na energię wewnętrzną. Mianowicie, pamiętamy z rozdziału 8.5, że energię wewnętrzną gazu możemy zapisać jako:

Gdzie  to liczba moli gazu,  to liczba stopni swobody cząsteczki tego gazu,  to uniwersalna stała gazowa, a  to temperatura gazu. W tym samym rozdziale stwierdziliśmy ponadto, że ciepło molowe gazu przy stałej objętości to . Łącząc te dwa wzory dochodzimy do wniosku, że energię wewnętrzną gazu możemy zapisać jako:

Co za tym idzie zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego w dowolnej przemianie może zawsze zostać obliczona jako:

Zależność energii wewnętrznej gazu od jego parametrów

Wiemy już, że energia wewnętrzna gazu jest wprost proporcjonalna do jego temperatury. Teraz zobaczmy jak zależy ona od pozostałych jego parametrów, tj. ciśnienia i objętości. Wykorzystując wyprowadzony powyżej wzór na energię wewnętrzną oraz równanie Clapeyrona, z którego wynika, że:

możemy zapisać następującą zależność między energią wewnętrzną gazu a jego ciśnieniem i objętością:

Widzimy zatem, że im większy iloczyn  gazu w danym jego stanie, tym większa jest energia wewnętrzna tego gazu w tym stanie. Rozszerzając te rozważania możemy stwierdzić, że zmiana energii wewnętrznej gazu w danej przemianie termodynamicznej jest równa:

A zatem im większa jest zmiana iloczynu  gazu w danej przemianie, tym większa jest zmiana energii wewnętrznej gazu w tej przemianie.

Podsumowując, zmianę energii wewnętrznej gazu w dowolnej przemianie zawsze możemy obliczyć jako , ponadto do stwierdzenia tego czy energia wewnętrzna gazu zmalała czy też wzrosła wystarczy nam wiedza odnośnie tego czy temperatura wzrosła czy zmalała. To z kolei możemy stwierdzić np. poprzez zbadanie tego jak w danej przemianie zmienił się iloczyn  dla gazu lub w ogólności wykorzystując równanie Clapeyrona.

Jeśli chodzi o ciepło wymienione przez gaz z otoczeniem, to w przypadku przemiany izobarycznej i izochorycznej możemy wykorzystać odpowiednio wzory  oraz . W przypadku przemiany adiabatycznej .

W kontekście pracy wykonanej przez gaz czy też nad gazem w danej przemianie, to zawsze możemy ją obliczyć jako pole pod wykresem danej przemiany przedstawionej w układzie zależności parametrów . W przypadku przemiany izobarycznej możemy ją dodatkowo obliczyć jako  (czyli ). W przemianie izochorycznej praca jest zerowa.

Zmiana energii wewnętrznej gazu, ciepło wymienione przez gaz z otoczeniem oraz wykonana nad nim praca są ponadto powiązane ze sobą poprzez pierwszą zasadę termodynamiki, która jest spełniona w przypadku każdej przemiany.

Możemy uporządkować powyższe informacje w formie tabeli.

*W przypadku każdej przemiany można stosować ponadto I zasadę termodynamiki.

Przykład:

Na rysunku poniżej przedstawiono w układzie  ciąg przemian termodynamicznych, którym poddano pewną ilość jednoatomowego gazu doskonałego. Oblicz zmianę energii wewnętrznej gazu, wymienione przez gaz ciepło z otoczeniem oraz pracę wykonaną przez gaz w każdej z tych przemian.

Rozwiązanie:

Zmianę energii wewnętrznej w każdej z przemian obliczymy ze wzoru:

Ponieważ gaz jest jednoatomowy, to , a zatem:

W przemianie A-B:

W przemianie B-C:

W przemianie C-D:

W następnym kroku obliczmy pracę wykonaną przez gaz w przemianie A-B jako pole pod wykresem tej przemiany:

Ciepło wymienione przez gaz w przemianie A-B obliczmy wykorzystując I zasadę termodynamiki:

Pracę w przemianie C-D można obliczyć jako pole pod wykresem przemiany lub korzystając ze wzoru . Obliczmy ją na ten drugi sposób:

Ciepło wymienione przez gaz w przemianie C-D możemy obliczyć wykorzystując pierwsza zasadę termodynamiki (znamy już bowiem  oraz ) lub wykorzystując wzór na ciepło w przemianie izobarycznej. Wykorzystajmy tę drugą metodę:

Pracę wykonaną przez gaz w przemianie B-C, która jest izotermiczna należy oszacować jako pole pod wykresem tej przemiany. Z wykresy możemy oszacować, że pole to odpowiada polu ok. 25 „kratek” o bokach o długościach 1 kPa oraz 1 dm³. A zatem:

Ciepło wymienione przez gaz w przemianie B-C obliczymy wykorzystując pierwszą zasadę termodynamiki:

Zadania do zrobienia:

1. Na rysunku poniżej przedstawiono w układzie  ciąg przemian termodynamicznych, którym poddano pewną ilość dwuatomowego gazu doskonałego. Oblicz zmianę energii wewnętrznej gazu, wymienione przez gaz ciepło z otoczeniem oraz pracę wykonaną nad gazem w każdej z tych przemian.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-termodynamika-2