Każde dwa ciała znajdujące się od siebie w skończonej odległości  przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji. Prawo opisujące to zjawisko nosi nazwę prawa powszechnego ciążenia.

Prawo powszechnego ciążenia mówi, że każde dwa ciała posiadające masę  przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Wartość tej siły grawitacji wyrażamy wzorem:

 – siła grawitacji,

 - stała grawitacji niezmienna w całym wszechświecie,

  - masy ciał,

 - odległość między ciałami

Siły grawitacji działające między dwoma ciałami spełniają III zasadę dynamiki Newtona, czyli mają tę samą wartość, ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty.

Wzoru na siłę grawitacji można używać w następujących przypadkach:

a) dwie jednorodne kule, wówczas r to odległość między ich środkami,

b) jednorodna kula i ciało o znacznie mniejszych rozmiarach od kuli, wtedy r to odległość od środka kuli do tego ciała

c) dwa punkty materialnie (również w przypadku oddziałujących planet, gwiazd itp., gdy ich rozmiary są bardzo niewielkie w porównaniu z odległością między nimi)

Powyższe przypadki zobrazowano na Rys. 1.

Rys. 1.

Przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni planety

Gdyby w pobliżu powierzchni Ziemi upuścić (zakładając brak oporów ruchu) z jednakowej wysokości dwa przedmioty o różnych masach, to oba przedmioty spadną na powierzchnię Ziemi w tym samym czasie, ponieważ mają one to samo przyspieszenie – jest to przyspieszenie grawitacyjne, czy też inaczej przyspieszenie ziemskie.

Przeanalizujmy teraz sytuację w ogólnym przypadku dowolnej planety. Przyjmijmy, że ciało o masie  znajduje się na powierzchni planety o promieniu  i masie . Jedyną siłą jaka na to ciało działa jest siła grawitacji tej planety, a zatem jest to jednocześnie siła wypadkowa działająca na rozpatrywane ciało. Możemy zatem wyprowadzić wzór na przyspieszenie tego ciała. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że:

Ponieważ siłą wypadkową jest siła grawitacji, to:

Przyspieszenie to związane jest z oddziaływaniem grawitacyjnym danego ciała z planetą, toteż nazywamy je przyspieszeniem grawitacyjnym. Na Ziemi przyśpieszenie grawitacyjne nazywane jest często przyspieszeniem ziemskim. Opisujemy je symbolem , a jego wartość w przybliżeniu jest równa .

Ponadto, wykorzystując powyższy wzór np. w przypadku innej planety (wstawiając za  i  odpowiednio masę i promień tejże planety), otrzymamy wartość przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni tejże planety.

Czynniki wpływające na ciężar ciała

Powyższe wyprowadzenie zakładało, że Ziemia jest idealną jednorodną kulą, nie wykonującą żadnego ruchu. Jeśli chcemy wyznaczyć, rzeczywistą wartość przyspieszenia ziemskiego w danym punkcie na powierzchni Ziemi, to musimy uwzględnić fakt, że każde znajdujące się na niej ciało porusza się razem z nią, czyli wykonuje ruch obrotowy wokół ziemskiej osi. Rozpatrując ten przypadek w nieinercjalnym układzie odniesienia związanym z obracającą się Ziemią, pojawi się siła odśrodkowa (siła bezwładności) działająca na opisywane ciało. Sytuację tę ilustruje Rys. 2.

Rys. 2.

Zauważamy, że ciężar ciała na Ziemi jest w rzeczywistości wypadkową siły grawitacji i siły odśrodkowej działających na to ciało. Możemy to zapisać w postaci równania wektorowego:

Gdy ciało znajduje się na równiku, to siła grawitacji i siła odśrodkowa mają takie same kierunki, wówczas w łatwy sposób możemy obliczyć wartość ciężaru jako . Z kolei gdy ciało znajduje się na biegunie, to ciężar jest równy sile grawitacji, nie działa tam bowiem na ciało żadna siła odśrodkowa (ciało leży wówczas na osi obrotu Ziemi). W każdym pośrednim przypadku siła grawitacji i siła odśrodkowa mają różne kierunki, a co za tym idzie kierunek ciężaru jest nieco inny niż kierunek siły grawitacji. W praktyce różnica jest bardzo niewielka, ponieważ siła grawitacji na powierzchni Ziemi jest co do wartości znacznie większa niż siła odśrodkowa związana z jej ruchem obrotowym.

Przykład 1:

Ciężar Marka na powierzchni Ziemi wynosi Q₁ = 600 N. Marek poleciał na planetę o takim samym promieniu co Ziemia i o dwukrotnie większej masie. Oblicz ciężar Marka na nowej planecie. Pomiń wpływ ruchu obrotowego.

Rozwiązanie:

Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi możemy zapisać jako:

Z kolei przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni drugiej planety to:

Zapiszmy teraz ciężar Marka na Ziemi:

Następnie zapiszmy ciężar Marka na drugiej planecie:

Jak widać jest on dwukrotnie większy niż na Ziemi, stąd .

Przykład 2:

Wyprowadź wzór wyrażający zależność przyspieszenia grawitacyjnego na pewnej planecie od jej gęstości  i od promienia tej planety . Oblicz wartość tego przyspieszenia dla  i .

Rozwiązanie:

Przyjmijmy, że   to odpowiednio promień, objętość, masa i przyśpieszenie grawitacyjne badanej planety. Przyspieszenie grawitacyjne zapisujemy jako:

Zależność pomiędzy gęstością, objętością i masą jest następująca:

Stąd:

Wykorzystajmy także wzór na objętość kuli, dzięki czemu otrzymujemy:

Wstawiamy masę do wzoru na przyspieszenie grawitacyjne:

Podstawiając dane  i  otrzymujemy:

Zadania do zrobienia:

1. Wiedząc że stała grawitacji  , a promień Ziemi to , oblicz masę Ziemi.

Odp.:

2. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na planecie XYZ, której zarówno promień jak i masa są dwa razy większe od promienia i masy Ziemi.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-grawitacja-i-kosmologia-1