Pierwsze prawo Keplera

Rozważmy układ izolowany ciał gdzie jedno ciało ma znaczenie większą masę do drugiego, np. układ Słońce-Ziemia. Ciała te oddziałują ze sobą jedynie siłami grawitacji i nie występują żadne inne siły działające na te ciała. Można udowodnić (narzędziami matematyki wyższej), że jedynym zamkniętym torem orbity lżejszego ciała, które obiega ciało o większej masie, jest elipsa. Ciało o większej masie znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Stwierdzenie to jest treścią pierwszego prawa Keplera, które mówi, że torem ruchu każdej planety jest elipsa. W jednym z ognisk tej elipsy znajduje się Słońce. Elipsę, po której porusza się np. planeta w ruchu wokół Słońca przedstawiono na Rys. 1.

Rys. 1.

Inne tory ciała pod wpływem siły grawitacji:

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia możliwe są jeszcze trzy inne tory ruchu ciała poruszającego się jedynie pod wpływem siły grawitacji drugiego ciała. Są nimi hiperbola, parabola i linia prosta. Ciało będzie poruszać się po linii prostej tylko w sytuacji gdy kierunek wektora jego początkowej prędkości będzie leżał na owej prostej łączącej oddziałujące ze sobą ciała (przykładem może być „upuszczenie” ciała z jakiejś odległości na drugie ciało). Hiperbole i parabole są z kolei krzywymi otwartymi, oznacza to, że ciało poruszające się po takim torze zbliży się do ciała centralnego tylko raz, a potem będzie się od niego już cały czas oddalać. Przykłady powyższych torów przedstawiono na Rys. 2.

Rys. 2.

Drugie prawo Keplera

Rozpatrzmy planetę krążącą wokół Słońca po elipsie i przyjmijmy, że siła grawitacji pochodząca od Słońca jest jedyną siłą działającą na planetę w tym ruchu. Z rozważań związanych z bryłą sztywną pamiętamy, że gdy na ciało nie działa żaden wypadkowy zewnętrzny moment siły, to moment pędu takiego ciała jest stały w czasie. Dokładnie z taką sytuacją mamy do czynienia w przypadku omawianej planety krążącej wokół Słońca po elipsie pod wpływem siły grawitacji. Przeanalizujmy zatem planetę w dwóch różnych położeniach w czasie jej ruchu po orbicie. Sytuację tę przedstawiono schematycznie na Rys. 3.

Rys. 3.

Ponieważ moment pędu musi być stały, to możemy zapisać:

A zatem:

Przyjmijmy, że pola (zielone i czerwone) zakreślane są przez ciało w obu przypadkach w takim samym, bardzo krótkim przedziale czasu . Pomnóżmy obustronnie uzyskane powyżej równanie przez ten przedział czasu oraz dodatkowo przez . Dodatkowo po obu stronach równania skróci się masa . Otrzymamy:

Iloczyny  to fragmenty drogi przebytej planetę w rozważanym przedziale czasu w rozpatrywanych dwóch różnych miejscach na orbicie. Ponieważ przyjęliśmy, że przedział ten jest bardzo krótki, to figury zakreślane przez planetę w obu przypadkach są trójkątami, a lewa i prawa strona powyższego równania to pola tych trójkątów (zielonego i czerwonego). A zatem są one sobie równe:

Otrzymujemy w ten sposób drugie prawo Keplera, które mówi że w trakcie ruchu każdej planety jej promień wodzący, czyli odcinek łączący tę planetę ze Słońcem, zakreśla w jednakowych przedziałach czasu równe pola. Drugie prawo Keplera w ogólności obowiązuje dla dowolnego ciała poruszającego się po elipsie wokół innego ciała pod wpływem grawitacji.

Na podstawie powyższych rozważań możemy ponadto zauważyć, że drugie prawo Keplera jest więc szczególnym przypadkiem zasady zachowania momentu pędu zapisanego dla ciał obiegających inne ciało po elipsie pod wpływem siły grawitacji.

Z drugiego prawa Keplera wynikają także kolejne istotne wnioski: prędkość ciała obiegającego ciało centralne po elipsie jest największa w punkcie, w którym ciało to znajduje się najbliżej ciała centralnego (punkt P na Rys. 4.), a najmniejsza w punkcie, w którym ciało znajduje się najdalej od ciała centralnego (punkt A na Rys. 4.). W przypadku, gdy ciałem centralnym jest Słońce, to punkty P i A nazywamy odpowiednio peryhelium i aphelium.

Rys. 4.

Prędkość ciała na orbicie kołowej

Orbity np. Księżyca i innych satelitów, które krążą wokół Ziemi są zbliżone do okręgów, dlatego w kolejnych obliczeniach będziemy przyjmowali założenie właśnie ruchu po orbicie kołowej. Wiemy, że na każde ciało, które porusza się po okręgu działa siła dośrodkowa, w przypadku planet czy satelitów rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacji, co można dalej zapisać:

Gdzie  to masa ciała centralnego,  to masa ciała krążącego wokół ciała centralnego,  to odległość między tymi ciałami (liczona między środkami tych ciał), a  to prędkość ciała krążącego wokół ciała centralnego po orbicie kołowej. Po dalszym uproszczeniu dochodzimy do wzoru:

Stąd prędkość ciała poruszającego się po orbicie kołowej wokół ciała centralnego pod wpływem siły grawitacji:

W przypadku satelity, który krąży na relatywnie niewielkiej wysokości nad powierzchnią danej planety, jego prędkość nazywamy I prędkością kosmiczną. A zatem w ogólnym przypadku I prędkość kosmiczna jest to prędkość satelity okrążającego daną planetę na niewielkiej wysokości.

I prędkość kosmiczną dla Ziemi obliczymy wstawiając do powyższego wzoru na prędkość odległość między satelitą krążącym nisko nad powierzchnią Ziemi, a środkiem Ziemi. W dobrym przybliżeniu jest to po prostu średni promień Ziemi, wynoszący ok. . Podstawiając ponadto masę Ziemi równą  otrzymujemy I prędkość kosmiczną dla Ziemi:

Przykład 1:

Gdy Ziemia znajduje się najbliżej Słońca (peryhelium) w odległości  = 147,1 mln km od Słońca, to porusza się z prędkością = 30,29 km/s. Oblicz wartość prędkości Ziemi w największej odległości od Słońca (aphelium). Odległość Ziemi od Słońca w aphelium to  = 152,1 mln km.

Rozwiązanie:

Zakładając że Słońce-Ziemia to układ izolowany, możemy skorzystać z zasady zachowana momentu pędu:

Skracamy masy i wyznaczamy wartość prędkości w aphelium:

Po podstawieniu danych:

Przykład 2:

Pewien satelita krąży wokół Ziemi po orbicie kołowej na wysokości d = 400 km nad powierzchnią Ziemi. Oblicz prędkość satelity i jego okres obiegu wokół Ziemi.

Rozwiązanie:

Zaczynamy od porównania siły grawitacji i siły dośrodkowej, ponieważ satelita porusza się po orbicie kołowej. Dochodzimy do wzoru:

Odległość  jest sumą odległości satelity do powierzchni Ziemi i promienia Ziemi (promień Ziemi ) :

Podstawiamy to do powyższego wzoru, ponadto za  podstawiamy masę Ziemi :

Okres  jest to czas jednego pełnego okrążenia orbity o długości

Ponieważ satelita porusza się ze stałą wartością prędkości, to możemy zapisać, że okres jest ilorazem drogi przebytej przez satelitę i wartości jego prędkości:

Zadania do zrobienia:

1. Wokół Ziemi krążą dwa satelity, jeden z nich w odległości , drugi w odległości  od środka Ziemi, gdzie . Oblicz, który z nich porusza się z prędkością o większej wartości.

Odp.: Ten bliższy Ziemi

2. Satelita stacjonarny to satelita, który znajduje się stale nad jednym punktem nad powierzchnią Ziemi, znajdującym się na równiku Ziemi. Oznacza to, że okres obiegu satelity stacjonarnego wokół Ziemi musi być równy okresowi obrotu Ziemi wokół własnej osi (T = 23 h 56 minut). Oblicz wysokość satelity stacjonarnego nad powierzchnią Ziemi.

Odp.: 35 800 km nad powierzchnią Ziemi

3. Oblicz prędkość liniową satelity Ziemi poruszającego się po orbicie kołowej odległej o 1630 km od powierzchni Ziemi. Oblicz również okres obiegu tego satelity wokół Ziemi. Masa Ziemi wynosi , a promień Ziemi to .

Odp.: ,

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-grawitacja-i-kosmologia-1