Trzecie prawo Keplera dotyczy zarówno orbit eliptycznych, jak i kołowych (okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy). Celem uproszczenia wyprowadźmy je dla orbity kołowej. Wiemy już, że w przypadku ciała o masie  poruszającego się po okręgu o promieniu  wokół ciała centralnego o masie , rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacji. Stąd możemy zapisać, że:

Ponieważ  to wartość prędkości ciała poruszającego się po okręgu, to możemy ją ponadto zapisać jako:

Gdzie  jest okresem obiegu tego ciała wokół ciała centralnego. Wstawiając tak zapisaną prędkość do wcześniejszego równania (i skracając masę ), otrzymujemy następującą zależność:

Co można przekształcić do postaci:

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równania jest zawsze stałe dla danego ciała centralnego o masie . Wobec tego również wyrażenie po lewej stronie musi być takie samo dla wszystkich ciał krążących wokół danego ciała centralnego. A zatem stosunek kwadratu okresu do sześcianu promienia okręgu będącego torem ruchu jest stały dla każdego ciała obiegającego to samo ciało centralne. Czyli np. stosunek ten będzie taki sam dla każdego satelity obiegającego tę samą planetę.

Wniosek płynący z powyższych rozważań, uogólniony na orbity eliptyczne, stanowi treść trzeciego prawa Keplera, które mówi, że stosunek kwadratów okresów obiegu planet wokół Słońca do sześcianów wielkich półosi ich orbit jest stały, co można zapisać następująco:

A zatem np. stosunek kwadratu okresu do sześcianu półosi wielkiej dla Ziemi (w jej ruchu obiegowym wokół Słońca) będzie taki sam jak dla Marsa, ponieważ parametry te związane są z ruchem wokół tego samego ciała – Słońca.

Warto również nadmienić, że ze wcześniejszej zależności , można znając okres obiegu danego ciała wokół ciała centralnego oraz znając okres obiegu tego ciała, obliczyć masę ciała centralnego (czyli np. znając te wielkości dla Ziemi, możemy obliczyć masę Słońca).

Przykład 1:

Wiedząc, że średnia odległość Marsa od Słońca wynosi 1,52 AU (gdzie AU to jednostka astronomiczna, równa średniej odległości Ziemi od Słońca), oblicz okres obiegu Marsa wokół Słońca.

Rozwiązanie:

Wykorzystamy III prawo Keplera, wiedząc, że stosunek  dla Ziemi i Marsa w odniesieniu do obiegu wokół Słońca jest taki sam. Zatem:

Wyznaczamy z powyższego wzoru okres obiegu Marsa:

Podstawiamy do powyższego wzoru  oraz :

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz, ile razy rok na Plutonie jest dłuższy od roku ziemskiego. Średnia odległość Plutona od Słońca jest 39,5 razy większa niż średnia odległość Ziemi od Słońca.

Odp.: Rok na plutonie jest 248,25 razy dłuższy od roku ziemskiego.

2. Wiedząc, że średnia odległość Wenus od Słońca wynosi , a okres obiegu Wenus wokół Słońca wynosi 224,7 dni, oblicz masę Słońca.

Odp.:  

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-grawitacja-i-kosmologia-2