Zamiast posługiwać się pojęciem sił grawitacji, możemy posługiwać się pojęciem pola grawitacyjnego – każdy obiekt posiadający masę wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Jeśli w takim polu znajduje się inne ciało o niezerowej masie, to będzie na nie działać siła grawitacji.

Wielkością charakteryzującą ilościowo pole grawitacyjne (czyli informującą nas o tym jak silne jest to pole w danym punkcie) jest natężenie pola grawitacyjnego. Aby je zdefiniować należy wprowadzić pojęcie masy próbnej - jest to ciało, którego masa jest tak niewielka, że nie zaburza istotnie istniejącego już pola grawitacyjnego. Na taką masę próbną umieszczoną w jakimś polu grawitacyjnym zadziała siła grawitacji. Iloraz tej siły  i masy próbnej  to właśnie natężenie pola grawitacyjnego  w tym punkcie, w którym umieściliśmy naszą pomocniczą masę próbną:

Natężenie pola grawitacyjnego jest wielkością wektorową – jego kierunek i zwrot są zgodne z kierunkiem i zwrotem działającej siły grawitacyjnej. Na Rys. 1. przedstawiono wektor natężenia pola grawitacyjnego w dwóch różnych punktach pola grawitacyjnego wytworzonego przez masę centralną . Masy  to masy próbne służące do wyznaczenia natężenia pola grawitacyjnego w danych punktach.

Rys. 1.

Aby obliczyć wartość wektora natężenia możemy opuścić notacje wektorową. Stąd:

Zauważmy, że wartość wektora natężenia w danym punkcie nie zależy od masy próbnej. Oznacza to, że masa próbna jest jedynie pomocniczym tworem służącym do wyznaczania natężenia, ale samo natężenie można wyznaczyć w dowolnym punkcie istniejącego pola grawitacyjnego, bez konieczności fizycznego umieszczania tam jakiejkolwiek masy.

Co więcej, stwierdzamy, że wartość wektora natężenia pola grawitacyjnego w danym punkcie jest rośnie proporcjonalnie wraz ze wzrostem masy ciała centralnego  i jest proporcjonalna do odwrotności kwadratu odległości danego punktu, w którym wyznaczamy to natężenie od środka ciała centralnego. Warto również nadmienić, że powyższy wzór na wartość natężenia pola grawitacyjnego ma zastosowanie tylko na powierzchni oraz na zewnątrz ciała centralnego o masie .

Natężenie pola grawitacyjnego, a przyśpieszenie ciała

Zauważmy, że jednostką natężenia pola grawitacyjnego jest . Jest to identyczna jednostka jak w przypadku przyspieszenia liniowego. Istnieje bowiem silny związek między tymi wielkościami fizycznymi. Przyjmijmy, że ciało o masie  umieszczamy w punkcie o natężeniu pola grawitacyjnego . Przyjmijmy jednocześnie, że na to ciało nie działają żadne inne siły poza siłą grawitacji wynikającą z obecności pola grawitacyjnego. Wówczas zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona ciało to uzyska następujące przyspieszenie:

Nie są to natomiast wielkości tożsame, natężenie pola grawitacyjnego jest wielkością fizyczną opisującą pole, a przyspieszenie liniowe jest wielkością opisującą ruch ciała. A zatem wektor nawet w przypadku braku obecności jakiegokolwiek ciała, możemy w danym punkcie określić natężenie pola grawitacyjnego, ale nie możemy już określić przyspieszenia, bo nie istnieje ciało, które miałoby posiadać to przyspieszenie.

Linie pola grawitacyjnego

Pole grawitacyjne można równie przedstawić graficznie za pomocą linii pola grawitacyjnego: wektor natężenia pola grawitacyjnego jest w danym punkcie pola styczny do linii pola przechodzącej przez ten punkt, a jego zwrot jest taki sam jak zwrot linii pola przechodzącej przez dany punkt.

Centralne pole grawitacyjne

Jednym z głównych rodzajów pól grawitacyjnych jest pole centralne. Pole centralne jest wytwarzane przez punkt materialny lub ciało sferycznie symetryczne – np. kulę. Dlatego też pola grawitacyjne wytwarzane przez planety, gwiazdy itd. możemy z dobrym przybliżeniem traktować jako pola centralne. Jeśli zobrazujemy pole centralne za pomocą linii tego pola, to będą to linie zbiegające się w jednym punkcie w przestrzeni – tam gdzie znajduje się punkt materialny lub środek ciała sferycznie symetrycznego wytwarzającego to pole. Przykładowe centralne pole grawitacyjne przedstawiono na Rys. 2.

Rys. 2.

Ciało centralne wytwarzające takie pole nazywane jest źródłem pola. Wektory natężenia pola zwrócone są tak samo jak wektory sił grawitacji, czyli w kierunku źródła. Wartość natężenia pola w dowolnym jego punkcie na powierzchni lub na zewnątrz ciała centralnego możemy obliczyć ze wzoru wyprowadzonego wcześniej, czyli: .

Jednorodne pole grawitacyjne

Można pokazać, że z dobrym przybliżeniem możemy przyjąć, że blisko powierzchni Ziemi siła grawitacji działająca na dowolne ciało  jest niezależna od wysokości i jest zawsze zwrócona w stronę środka Ziemi. A zatem w relatywnie niewielkiej odległości od powierzchni Ziemi i na stosunkowo niewielkim jej obszarze, kiedy to możemy pominąć krzywiznę Ziemi, można przedstawić linie pola grawitacyjnego jako równoległe proste ułożone pionowo – oznacza to również, że natężenie takiego pola grawitacyjnego w każdym jego punkcie jest wektorem zwróconym pionowo w dół. Takie pole, w którym wektor natężenia pola jest w każdym jego punkcie taki sam, nazywamy jednorodnym polem grawitacyjnym. Na Rys. 3. przedstawiono przykładowe jednorodne pole grawitacyjne (np. blisko powierzchni Ziemi) – po lewej stronie zawarto kilka wektorów natężenia tego pola w różnych jego punktach, po stronie prawej zobrazowano to pole za pomocą jego linii.

Rys. 3.

Składanie pól grawitacyjnych

Jeśli na ciało działają co najmniej dwie siły grawitacyjne, to ich wypadkowy wektor można wyznaczyć dodają do siebie wszystkie wektory sił. Analogicznie, wypadkowy wektor natężenia pola grawitacyjnego w danym punkcie możemy wyznaczyć dodając do siebie wektory natężeń pochodzące od każdej z mas tworzących to pole z osobna:

Powyższą zasadę nazywamy zasadą superpozycji pól grawitacyjnych. Na Rys. 4. przedstawiono przykładowe jej zastosowanie w przypadku, gdy mamy do czynienia z dwoma masami będącymi źródłami pola grawitacyjnego.

Rys. 4.

Przykład 1:

Oblicz w jakiej odległości od powierzchni Ziemi natężenie wytwarzanego przez nią pola grawitacyjnego jest dziesięciokrotnie mniejsze niż natężenia na jej powierzchni.

Rozwiązanie:

Oznaczmy wartość natężenia na powierzchni Ziemi jako:

Natężenie w odległości  od środka Ziemi to z kolei:

Chcemy znaleźć taką odległość , dla której , zatem:

Stąd:

Jest to szukana odległość, ale liczona od środka Ziemi. Aby obliczyć odległość znalezionego punktu od powierzchni Ziemi, to trzeba jeszcze odjąć promień Ziemi. A zatem szukana odległość to:

Przykład 2:

Dwie masy punktowe  i  znajdują się w odległości  od siebie. Zależność między masami jest następująca: . Wyznacz położenie punktu, w którym wypadkowe natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od obu tych mas jest zerowe.

Rozwiązanie:

Punkt, w którym wypadkowa natężenie jest zerowe musi znajdować się pomiędzy rozpatrywanymi masami. Natężenia pochodzące od tych mas w tym punkcie muszą być równe co do wartości, a ponieważ będą miały jednocześnie przeciwne zwroty, to ich wypadkowa będzie zerowa. Jako  oznaczmy odległość masy  od szukanego punktu, a  niech będzie odległością masy  od szukanego punktu. A zatem:

Wykorzystujemy fakt, że  i skracamy obustronnie stałą grawitacji :

Stąd:

Ponieważ , to możemy zapisać, że:

Stąd wyliczamy  w zależności od :

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz w jakiej odległości od środka Słońca pole grawitacyjne wytwarzane przez Słońce jest równe co do wartości polu grawitacyjnemu wytwarzanemu przez Ziemię na jej powierzchni. Przyjmij, że masa Słońca jest 335 000 razy większa niż masa Ziemi, zaś promień Ziemi wynosi .

Odp.:

2. Dwie jednakowe kule o masach m = 2 kg każda zostały umieszczone w odległości x = 1 m od siebie. Oblicz natężenie pola grawitacyjnego w punkcie P, jeśli wiadomo, że leży on na symetralnej odcinka łączącego środki tych mas w odległości h = 0,75 m od niego (patrz rysunek poniżej).

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższymi linkami znajdziesz płatne (60 zł każde) dwugodzinne nagrania z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-grawitacja-i-kosmologia-1

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-grawitacja-i-kosmologia-2