Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów
Energia potencjalna
Wykorzystywany dotychczas w mechanice wzór na energię potencjalną ciała był przybliżeniem bardziej ogólnego wzoru, które jest poprawne tylko gdy rozpatrujemy jednorodne pole grawitacyjne (a zatem bardzo blisko powierzchni Ziemi).
W ogólnym przypadku centralnego pola grawitacyjnego należy mieć na uwadze fakt, że energia potencjalna ciała znajdującego się w tym polu jest związana z oddziaływaniem grawitacyjnym tego ciała z innym ciałem – najczęściej ciałem centralnym, które wytwarza rozpatrywane pole grawitacyjne (w wielu przypadkach ciałem centralnym będzie np. Ziemia, inna planeta, Słońce itd.). Rozważmy zatem sytuację, w której ciało o masie znajduje się w centralnym polu grawitacyjnym wytwarzanym przez ciało o masie i postarajmy się określić energię potencjalną ciała o masie wynikającą z jego oddziaływania grawitacyjnego z ciałem o masie .
Podobnie tak jak to miało miejsce w przypadku pola jednorodnego, tak i w ogólnym przypadku pola centralnego należy przyjąć gdzieś arbitralnie zerowy poziom energii potencjalnej. Najbardziej naturalnym podejściem jest przyjęcie owego zerowego poziomu w nieskończoności, czyli energia potencjalna ciała o masie jest zerowa wtedy, gdy znajduje się ono nieskończenie daleko od ciała o masie (co jest bardzo logicznym założeniem, bo wówczas siła oddziaływania grawitacyjnego między tymi ciałami jest zerowa). Znając ponadto wzór na siłę grawitacji działającą na ciało o masie () i przekształcając go odpowiednio z wykorzystaniem narzędzi matematyki wyższej (z ogólnej definicji energii potencjalnej dowolnego oddziaływania wnioskujemy, że aby ją obliczyć, należy policzyć całkę oznaczoną z siły oddziaływania), otrzymamy wzór na energię potencjalną ciała o masie w centralnym polu grawitacyjnym wytworzonym przez ciało o masie :
Gdzie to odległość między środkami ciał o masach i .
Zauważmy, że ze wzoru tego wynika, że energia potencjalna ciała o masie jest w przypadku jego oddziaływania z ciałem centralnym o masie zawsze ujemna, a ponadto rośnie wraz ze wzrostem odległości między tymi ciałami, zbliżając się do maksymalnej swojej wartości równej zero w nieskończoności. Na Rys. 1. zawarto wykres zależności energii potencjalnej ciała w centralnym polu grawitacyjnym od odległości tego ciała od źródła pola. Przedstawiona krzywa jest fragmentem hiperboli.
Rys. 1.
Energia kinetyczna
Rozpatrzmy teraz energię kinetyczną ciała o masie znajdującego się polu grawitacyjnym ciała o masie . Przyjmijmy, że ciało o masie porusza się jedynie pod wpływem siły grawitacji po orbicie kołowej wokół ciała o masie . Z mechaniki pamiętamy, że energia kinetyczna ciała o masie wynosi:
Wykorzystując ponadto fakt, że prędkość tego ciała w ruchu wokół ciała centralnego o masie jest równa:
Możemy wyprowadzić następujący wzór na energię kinetyczną ciała o masie w ruchu po okręgu pod wpływem siły grawitacji wokół ciała o masie :
Energia mechaniczna
Znając energię potencjalną i mechaniczną ciała masie możemy podać jego całkowitą energię mechaniczną (jako sumę energii potencjalnej i energii kinetycznej):
Zauważmy, że całkowita energia mechaniczna ciała o masie krążącego wokół ciała o masie pod wpływem siły grawitacji jest ujemna. Oznacza to, że układ tych ciał jest tzw. układem związanym.
Praca w centralnym polu grawitacyjnym
Wiemy już, że zgodnie ze znanym nam związkiem pomiędzy energią i pracą, możemy zapisać, że praca wykonana przez dane ciało (lub nad danym ciałem) jest równa zmianie energii mechanicznej tego ciała. A zatem: .
Wobec tego np. praca jaką należy wykonać, aby ciało o masie krążące wokół ciała o masie przenieść z orbity kołowej o promieniu na wyższą orbitę kołową o promieniu , jest równa:
Pole centralne a jednorodne
Pokażmy teraz, że centralne pole grawitacyjne wytwarzane przez Ziemię można uznać z dobrym przybliżeniem za pole jednorodne, jeśli tylko znajdujemy się stosunkowo blisko jej powierzchni. Aby to stwierdzić, pokażmy, że różnica energii potencjalnych ciała o masie pomiędzy dwoma „wysokościami” nad powierzchnią Ziemi (która odpowiada jednocześnie minimalnej pracy jaką należy wykonać, aby dane ciało przenieść z jednej wysokości na drugą), z których obie znajdują się relatywnie blisko powierzchni Ziemi, będzie w przybliżeniu taka sama niezależnie od tego czy wykorzystamy wzór na energię potencjalną w polu jednorodnym czy centralnym. Przyjmijmy ponadto, że rozpatrywana różnica wysokości wynosi .
W przypadku pola jednorodnego zmiana energii potencjalnej wyniesie zatem:
W przypadku wykorzystania wzoru dla pola centralnego będzie to:
Gdzie i to kolejno mniejsza i większa odległość ciała o masie od środka Ziemi. Ich różnica jest równa przyjętej wartości , czyli . Powyższy wzór przekształćmy dalej:
Ponieważ zakładamy, że obie wysokości znajdują się blisko powierzchni Ziemi, a jest odległością od środka Ziemi równą w przybliżeniu promieniowi Ziemi , to zauważamy, że jest znacznie mniejsze od , a zatem prawdziwe jest następujące przybliżenie: . A zatem:
Pamiętamy z poprzedniego rozdziału, że , a zatem otrzymujemy:
Jak widać, jest to zatem ta sama wartość co w przypadku zastosowania przybliżenia pola jednorodnego.
Druga prędkość kosmiczna
Zastanówmy się teraz jaką prędkość należałoby nadać jakiemuś obiektowi o masie , aby mógł on uwolnić się od oddziaływania grawitacyjnego z planetą o masie i promieniu , na której się początkowo znajduje, czyli mógł oddalić od tej planety nieskończenie daleko. Prędkość początkowa jaką należy nadać dowolnemu obiektowi, aby opuścił on pole grawitacyjne danego ciała niebieskiego bez dodatkowego napędu nazywamy drugą prędkością kosmiczną.
Aby wyznaczyć jej wartość możemy posłużyć się zasadą zachowania energii mechanicznej, ponieważ przyjmujemy, że obiekt nie posiada żadnego własnego napędu, jedyna siła jaka na niego działa to siła grawitacji. A zatem energia mechaniczna obiektu jest taka sama na powierzchni danej planety (stąd obiekt startuje, tu nadajemy mu prędkość), jak i w nieskończoności. Stąd:
Prędkość, którą nadajemy obiektowi na powierzchni planety jest wspomnianą już drugą prędkością kosmiczną . Ponadto w nieskończoności energia potencjalna naszego obiektu jest zerowa. Przyjmujemy także, że i jego energia kinetyczna jest w nieskończoności zerowa, chodzi nam bowiem o to, aby mógł on oddalić się nieskończenie daleko od planety, ale nie musi tam posiadać już żadnej dodatkowej prędkości, a co za tym idzie energii kinetycznej. Zatem:
Stąd wyprowadzimy wzór na drugą prędkość kosmiczną:
II prędkość kosmiczną dla Ziemi obliczymy wstawiając do powyższego wzoru średni promień Ziemi wynoszący ok. oraz masę Ziemi równą :
Przykład 1:
Satelita o masie krąży jedynie pod wpływem siły grawitacji po orbicie kołowej o promieniu dookoła planety o promieniu . Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni tej planety wynosi . Oblicz minimalną pracę jaką musi wykonać siła ciągu silników satelity, aby przenieść go na orbitę kołową o promieniu , na której będzie się poruszał ponownie wyłącznie pod wpływem siły grawitacji.
Rozwiązanie:
Wiemy, że wykonana praca jest równa różnicy energii mechanicznych satelity, zatem:
Związek między masą planety, jej promieniem a przyspieszeniem grawitacyjnym na jej powierzchni jest następujący:
Stąd:
Wstawiamy to do wzoru na pracę:
Podstawiając dane z treści zadania otrzymujemy:
Zadania do zrobienia:
1. Oblicz wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Księżyca, przyjmując, że jego promień , a przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni jest 6 razy mniejsze od przyspieszenia grawitacyjnego na Ziemi.
Odp.:
2. Oblicz minimalną pracę jaką należy wykonać aby przenieść ciało o masie m = 1 kg z wysokości równej na wysokość równą nad powierzchnią Ziemi. to promień Ziemi równy .
Odp.:
Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:
https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-grawitacja-i-kosmologia-2