Energia potencjalna

Wykorzystywany dotychczas w mechanice wzór na energię potencjalną ciała  był przybliżeniem bardziej ogólnego wzoru, które jest poprawne tylko gdy rozpatrujemy jednorodne pole grawitacyjne (a zatem bardzo blisko powierzchni Ziemi).

W ogólnym przypadku centralnego pola grawitacyjnego należy mieć na uwadze fakt, że energia potencjalna ciała znajdującego się w tym polu jest związana z oddziaływaniem grawitacyjnym tego ciała z innym ciałem – najczęściej ciałem centralnym, które wytwarza rozpatrywane pole grawitacyjne (w wielu przypadkach ciałem centralnym będzie np. Ziemia, inna planeta, Słońce itd.). Rozważmy zatem sytuację, w której ciało o masie  znajduje się w centralnym polu grawitacyjnym wytwarzanym przez ciało o masie  i postarajmy się określić energię potencjalną ciała o masie  wynikającą z jego oddziaływania grawitacyjnego z ciałem o masie .

Podobnie tak jak to miało miejsce w przypadku pola jednorodnego, tak i w ogólnym przypadku pola centralnego należy przyjąć gdzieś arbitralnie zerowy poziom energii potencjalnej. Najbardziej naturalnym podejściem jest przyjęcie owego zerowego poziomu w nieskończoności, czyli energia potencjalna ciała o masie  jest zerowa wtedy, gdy znajduje się ono nieskończenie daleko od ciała o masie  (co jest bardzo logicznym założeniem, bo wówczas siła oddziaływania grawitacyjnego między tymi ciałami jest zerowa). Znając ponadto wzór na siłę grawitacji działającą na ciało o masie  () i przekształcając go odpowiednio z wykorzystaniem narzędzi matematyki wyższej (z ogólnej definicji energii potencjalnej dowolnego oddziaływania wnioskujemy, że aby ją obliczyć, należy policzyć całkę oznaczoną z siły oddziaływania), otrzymamy wzór na energię potencjalną ciała o masie  w centralnym polu grawitacyjnym wytworzonym przez ciało o masie :

Gdzie  to odległość między środkami ciał o masach  i .

Zauważmy, że ze wzoru tego wynika, że energia potencjalna ciała o masie  jest w przypadku jego oddziaływania z ciałem centralnym o masie  zawsze ujemna, a ponadto rośnie wraz ze wzrostem odległości między tymi ciałami, zbliżając się do maksymalnej swojej wartości równej zero w nieskończoności. Na Rys. 1. zawarto wykres zależności energii potencjalnej ciała w centralnym polu grawitacyjnym od odległości tego ciała od źródła pola. Przedstawiona krzywa jest fragmentem hiperboli.

Rys. 1.

Energia kinetyczna

Rozpatrzmy teraz energię kinetyczną ciała o masie  znajdującego się polu grawitacyjnym ciała o masie . Przyjmijmy, że ciało o masie  porusza się jedynie pod wpływem siły grawitacji po orbicie kołowej wokół ciała o masie . Z mechaniki pamiętamy, że energia kinetyczna ciała o masie  wynosi:

Wykorzystując ponadto fakt, że prędkość tego ciała w ruchu wokół ciała centralnego o masie  jest równa:

Możemy wyprowadzić następujący wzór na energię kinetyczną ciała o masie  w ruchu po okręgu pod wpływem siły grawitacji wokół ciała o masie :

Energia mechaniczna

Znając energię potencjalną i mechaniczną ciała masie  możemy podać jego całkowitą energię mechaniczną (jako sumę energii potencjalnej i energii kinetycznej):

Zauważmy, że całkowita energia mechaniczna ciała o masie  krążącego wokół ciała o masie  pod wpływem siły grawitacji jest ujemna. Oznacza to, że układ tych ciał jest tzw. układem związanym.

Praca w centralnym polu grawitacyjnym

Wiemy już, że zgodnie ze znanym nam związkiem pomiędzy energią i pracą, możemy zapisać, że praca wykonana przez dane ciało (lub nad danym ciałem) jest równa zmianie energii mechanicznej tego ciała. A zatem: .

Wobec tego np. praca jaką należy wykonać, aby ciało o masie  krążące wokół ciała o masie  przenieść z orbity kołowej o promieniu  na wyższą orbitę kołową o promieniu , jest równa:

Pole centralne a jednorodne

Pokażmy teraz, że centralne pole grawitacyjne wytwarzane przez Ziemię można uznać z dobrym przybliżeniem za pole jednorodne, jeśli tylko znajdujemy się stosunkowo blisko jej powierzchni. Aby to stwierdzić, pokażmy, że różnica energii potencjalnych ciała o masie  pomiędzy dwoma „wysokościami” nad powierzchnią Ziemi (która odpowiada jednocześnie minimalnej pracy jaką należy wykonać, aby dane ciało przenieść z jednej wysokości na drugą), z których obie znajdują się relatywnie blisko powierzchni Ziemi, będzie w przybliżeniu taka sama niezależnie od tego czy wykorzystamy wzór na energię potencjalną w polu jednorodnym czy centralnym. Przyjmijmy ponadto, że rozpatrywana różnica wysokości wynosi .

W przypadku pola jednorodnego zmiana energii potencjalnej wyniesie zatem:

W przypadku wykorzystania wzoru dla pola centralnego będzie to:

Gdzie  i  to kolejno mniejsza i większa odległość ciała o masie  od środka Ziemi. Ich różnica jest równa przyjętej wartości , czyli . Powyższy wzór przekształćmy dalej:

Ponieważ zakładamy, że obie wysokości znajdują się blisko powierzchni Ziemi, a  jest odległością od środka Ziemi równą w przybliżeniu promieniowi Ziemi , to zauważamy, że  jest znacznie mniejsze od , a zatem prawdziwe jest następujące przybliżenie: . A zatem:

Pamiętamy z poprzedniego rozdziału, że , a zatem otrzymujemy:

Jak widać, jest to zatem ta sama wartość co w przypadku zastosowania przybliżenia pola jednorodnego.

Druga prędkość kosmiczna

Zastanówmy się teraz jaką prędkość należałoby nadać jakiemuś obiektowi o masie , aby mógł on uwolnić się od oddziaływania grawitacyjnego z planetą o masie  i promieniu , na której się początkowo znajduje, czyli mógł oddalić od tej planety nieskończenie daleko. Prędkość początkowa jaką należy nadać dowolnemu obiektowi, aby opuścił on pole grawitacyjne danego ciała niebieskiego bez dodatkowego napędu nazywamy drugą prędkością kosmiczną.

Aby wyznaczyć jej wartość możemy posłużyć się zasadą zachowania energii mechanicznej, ponieważ przyjmujemy, że obiekt nie posiada żadnego własnego napędu, jedyna siła jaka na niego działa to siła grawitacji. A zatem energia mechaniczna obiektu jest taka sama na powierzchni danej planety (stąd obiekt startuje, tu nadajemy mu prędkość), jak i w nieskończoności. Stąd:

Prędkość, którą nadajemy obiektowi na powierzchni planety jest wspomnianą już drugą prędkością kosmiczną . Ponadto w nieskończoności energia potencjalna naszego obiektu jest zerowa. Przyjmujemy także, że i jego energia kinetyczna jest w nieskończoności zerowa, chodzi nam bowiem o to, aby mógł on oddalić się nieskończenie daleko od planety, ale nie musi tam posiadać już żadnej dodatkowej prędkości, a co za tym idzie energii kinetycznej. Zatem:

Stąd wyprowadzimy wzór na drugą prędkość kosmiczną:

II prędkość kosmiczną dla Ziemi obliczymy wstawiając do powyższego wzoru średni promień Ziemi wynoszący ok.  oraz masę Ziemi równą :

Przykład 1:

Satelita o masie  krąży jedynie pod wpływem siły grawitacji po orbicie kołowej o promieniu  dookoła planety o promieniu . Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni tej planety wynosi . Oblicz minimalną pracę jaką musi wykonać siła ciągu silników satelity, aby przenieść go na orbitę kołową o promieniu , na której będzie się poruszał ponownie wyłącznie pod wpływem siły grawitacji.

Rozwiązanie:

Wiemy, że wykonana praca jest równa różnicy energii mechanicznych satelity, zatem:

Związek między masą planety, jej promieniem a przyspieszeniem grawitacyjnym na jej powierzchni jest następujący:

Stąd:

Wstawiamy to do wzoru na pracę:

Podstawiając dane z treści zadania otrzymujemy:

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Księżyca, przyjmując, że jego promień , a przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni jest 6 razy mniejsze od przyspieszenia grawitacyjnego na Ziemi.

Odp.:

2. Oblicz minimalną pracę jaką należy wykonać aby przenieść ciało o masie m = 1 kg z wysokości równej  na wysokość równą nad powierzchnią Ziemi.  to promień Ziemi równy .

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-grawitacja-i-kosmologia-optyka