Pamiętamy, że ciało o masie  oddziałujące grawitacyjnie z innym ciałem o masie  posiada pewną energię potencjalną związaną z tym oddziaływaniem. Wiązało się to np. z faktem, że chcąc oddalić owo ciało o masie  na większą odległość od ciała o masie , należało wykonać pewną pracę (aby zwiększyć energię potencjalną grawitacji ciała o masie ). Jednocześnie ciało  zbliżając się do ciałą  uzyskiwało pewną energię kinetyczną, pozyskaną kosztem jego energii potencjalnej grawitacji.

Podobnie sytuacja wygląda w przypadku pola elektrycznego – tu również pojawia się energia potencjalna związana ze wzajemnym oddziaływaniem, tym razem elektrycznym, dwóch ciał. Niezbędne jest więc, aby oddziałujące ze sobą ciała posiadały ładunek elektryczny. A zatem dla przykładu, jeśli ciało obdarzone ładunkiem  znajduje się w polu elektrycznym wytworzonym przez ciało źródłowe obdarzone ładunkiem , to posiada ono energię potencjalną elektryczną (elektrostatyczną).

Energia potencjalna elektryczna w jednorodnym polu elektrycznym

Pole jednorodne jest polem elektrycznym wytworzonym przez dwie równoległe naładowane różnoimiennymi ładunkami powierzchnie, a jego natężenie jest w każdym jego punkcie stałe. Aby analizować ten przypadek pod kątem elektrycznej energii potencjalnej, to tak jak to miało miejsce w przypadku jednorodnego pola grawitacyjnego, tak i tutaj należy gdzieś przyjąć zerowy poziom tejże energii. Rozpatrzmy jednorodne pole elektryczne wytworzone przez dwie płyty, tak jak przedstawiono to na Rys. 1. Przyjmijmy, że poziom zerowy pokrywa się z położeniem ujemnie naładowanej płytki.

Rys. 1.

Jeżeli w polu o natężeniu  przedstawionym na Rys. 1. umieścimy dodatni ładunek próbny  i będziemy chcieli przemieścić go w stronę płytki dodatniej (działająca na niego siła elektryczna będzie zwrócona ku płytce ujemnej), to trzeba będzie zadziałać na niego dodatkową siłą zwróconą w stronę płytki dodatniej o wartości równej co najmniej wartości siły elektrycznej. Pracę tej siły można wyrazić wzorem:

gdzie  to przemieszczenie ładunku. Jeśli przyłożona siła była w istocie równa co do wartości sile elektrycznej, to wówczas dokładnie o taką samą wartość wzrosła elektryczna energia potencjalna przemieszczanego ładunku, a zatem możemy zapisać:

Zgodnie z tym rozumowaniem elektryczną energię potencjalną ładunku  znajdującego się w jednorodnym polu elektrycznym o stałym natężeniu , w odległości  od poziomu zerowego zapiszemy jako:

Warto zwrócić uwagę, że powyższy wzór jest bardzo podobny do wzoru na energię potencjalną w jednorodnym polu grawitacyjnym (tam energię potencjalną zapisujemy jako: ). Odpowiednikiem masy w przypadku pola elektrycznego jest ładunek danego ciała, a zamiast natężenia pola grawitacyjnego mamy natężenie pola elektrycznego.

Na podstawie powyższego rozumowania zauważamy, że elektryczna energia potencjalna ładunku dodatniego w polu jednorodnym jest większa w pobliżu płytki dodatniej, a mniejsza w pobliżu płytki ujemnej (to, która z nich znajduje się „wyżej” nie ma znaczenia). Jeśli jednak w tym samym polu elektrycznym umieścimy ładunek ujemny, to wtedy działająca na niego siła elektryczna będzie zwrócona przeciwnie, co sprawia, że w jego przypadku elektryczna energia potencjalna jest większa w pobliżu płytki ujemnej, a mniejsza w pobliżu płytki dodatniej. Sam sposób jej wyrażania pozostaje bez zmian (w dalszym ciągu należy również przyjąć gdzieś jej poziom zerowy). Schematycznie przedstawiono to na Rys. 2.

Rys. 2.

Energia potencjalna elektryczna w centralnym polu elektrycznym

Centralne pole elektryczne jest polem wytwarzanym przez pojedynczy ładunek punktowy lub sferycznie symetryczne naładowane ciało (kula lub sfera). Tutaj również możemy poczynić analogię do pola grawitacyjnego. Aby lepiej ją zilustrować, przyjmijmy na początek, że ładunek źródłowy jest ujemny, a w wytwarzanym przez niego polu elektrycznym umieszczamy dodatni ładunek próbny. Co więcej, podobnie jak miało to miejsce w przypadku pola grawitacyjnego, tak i tutaj przyjmujemy, że ładunek próbny będzie miał zerową energię potencjalną (elektryczną) w nieskończoności, tzn. Gdy będzie się on znajdował nieskończenie daleko od ładunku źródłowego. Ponieważ charakter oddziaływania elektrycznego pomiędzy ładunkiem próbnym a ładunkiem źródłowym jest analogiczny do charakteru oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy masą próbną a masą źródłową (w obu przypadkach wartość siły jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między ciałami), to wzór na energię potencjalną również przyjmie analogiczną postać. Toteż elektryczna energia potencjalna ciała o ładunku  znajdującego się w odległości  od ładunku źródłowego  jest równa:

Gdzie  to stała elektryczna. Warto również nadmienić, że w tym wzorze znak minus odpowiadający za wzajemne przyciąganie między ładunkami, a co za tym idzie za ujemną wartość energii potencjalnej, kryje się w ładunku źródłowym  (dzięki temu w istocie jest to pełna analogia do wzoru na energię potencjalną w centralnym polu grawitacyjnym: ).

W przypadku gdy ładunek źródłowy jest dodatni, wzór na energię potencjalną pozostaje bez zmian, natomiast wówczas  ma znak plus i energia potencjalna jest wtedy dodatnia. Na Rys. 3. zawarto wykresy zależności elektrycznej energii potencjalnej dodatniego ładunku próbnego znajdującego się w centralnym polu elektrycznym pochodzącym od ładunku źródłowego ujemnego (po lewej) i dodatniego (po prawej) od odległości tego ładunku próbnego od ładunku źródłowego. Zauważmy, że zwiększenie odległości ładunku próbnego od źródła skutkuje zwiększeniem jego energii potencjalnej w przypadku gdy ładunek źródłowy jest ujemny oraz zwiększeniem jego energii potencjalnej w przypadku gdy ładunek źródłowy jest dodatni.

Rys. 3.

Potencjał elektryczny i napięcie elektryczne

Inną niezwykle przydatną wielkością służącą do opisu pola elektrycznego jest potencjał elektryczny. Jest to wielkość skalarna, której wartość możemy wyznaczyć w dowolnym punkcie pola elektrycznego. Definiujemy go jako stosunek elektrycznej energii potencjalnej jaką posiada w danym punkcie pola ładunek próbny  do wartości tego ładunku próbnego. Możemy zatem zapisać, że potencjał elektryczny  jest równy:

Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt (1 V).

A zatem potencjał elektryczny w punkcie centralnego pola elektrycznego odległego o  od źródła pola jest następujący:

Widzimy, że jego wartość może być dodatnia lub ujemna, w zależności od znaku ładunku źródłowego.

W przypadku pola jednorodnego, potencjał w danym jego punkcie możemy zapisać jako:

Przekształcając ten wzór do postaci: , możemy wyznaczyć alternatywną jednostkę, w której można wyrażać wartość natężenia pola elektrycznego , jest to .

Znając potencjał pola możemy zatem obliczyć np. minimalną pracę potrzebną do przemieszczenia ładunku elektrycznego w polu elektrycznym pomiędzy punktami o potencjałach  i  jako:

 to różnica potencjałów pomiędzy danymi punktami pola. Różnicę potencjałów nazywamy również napięciem elektrycznym i często oznaczamy symbolem . Jednostka napięcia jest zatem taka sama jak jednostka potencjału elektrycznego, czyli wolt (1 V).

W przypadku gdy w pewnym punkcie pola umieścimy ładunek elektryczny  i pozwolimy mu się poruszać jedynie pod wpływem siły elektrycznej pochodzącej od ładunku źródłowego, to wykorzystując znajomość potencjału pola, możemy także wyrazić poprzez niego (a właściwie poprzez jego zmianę, czyli napięcie ) energię kinetyczną  jaką zyska dany ładunek podczas ruchu w rozważanym polu elektrycznym:

Gdzie  to napięcie pomiędzy punktami pola, między którymi przemieścił się rozpatrywany ładunek .

Ruch ładunków a potencjał

Swobodne ładunki przemieszczają się z punktu, w którym mają wyższą elektryczną energię potencjalną do punktu, w którym ich energia potencjalna jest niższa (analogicznie do swobodnej masy przemieszczającej się w polu grawitacyjnym z punktu, w którym ma ona wyższą energię potencjalną do punktu, w którym jej energia potencjalna jest niższa). Oznacza to, że swobodny ładunek dodatni będzie przemieszczał się od punktu o wyższym potencjale do punktu o niższym potencjale. Z kolei swobodny ładunek ujemny będzie przemieszczał się z punktu o niższym potencjale do punktu o wyższym potencjale. Związany jest z tym zjawiskiem fakt, że gdy połączymy ze sobą dwa przewodniki, to ładunki w ich objętościach będą się przemieszczały do momentu aż potencjał w każdym punkcie tych połączonych ze sobą przewodników będzie taki sam.

Elektronowolt

Przydatną w opisie zjawisk w skali mikroskopowej jednostką energii związaną z definicją potencjału (i napięcia) jest elektronowolt. Jest to energia, którą uzyskuje lub traci elektron poruszający się w polu elektrycznym pomiędzy punktami, między którymi różnica potencjałów (czyli napięcie) wynosi 1 V. Symbolem elektronowolta jest . Można ją łatwo przeliczyć na dżule mnożąc wartość ładunku elementarnego  przez 1 V. Stąd:

Przykład 1:

Kula z metalu jest naładowana ładunkiem dodatnim  i ma promień . Ładunek jest rozłożony równomiernie na powierzchni kuli. Rozkład potencjału w zależności od odległości od środka kuli znajduje się na wykresie poniżej:

a) Oblicz całkowity ładunek , który został zgromadzony na powierzchni kuli

b) Oblicz natężenie pola elektrycznego w punkcie oddalonym o  od środka kuli

c) Oblicz najmniejszą pracę, którą trzeba wykonać, żeby ładunek próbny przenieść proton w polu elektrycznym wytworzonym przez kulę z początkowej odległości od środka , na końcową odległość . Podaj wynik zarówno w żulach, jak i elektronowoltach.

Rozwiązanie:

a) Korzystamy ze wzoru na potencjał pola elektrycznego:

Przekształcamy wzór do takiej postaci, aby wyliczyć z niego ładunek kuli:

Podstawiamy do powyższego wzoru dane dla dowolnego punktu o  z wykresu, np. dla , wówczas .

b) Natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez punktowy ładunek Q jest takie samo jak natężenie pola pochodzącego od naładowanej kuli (na zewnątrz tej kuli), dlatego możemy zapisać, że:

Po podstawieniu odpowiednich danych otrzymujemy wynik:

c) Z wcześniejszych rozważań wiemy, że zmiana energii potencjalnej ładunku, z którą mamy do czynienia przy przemieszczaniu go pomiędzy punktami o różnych potencjałach, jest równa minimalnej pracy, jaką trzeba wykonać aby doszło do takiego przemieszczenia. Stąd:

Zadania do zrobienia:

1. Punktowy ładunek o wartości  przemieszczono w polu elektrycznym. W tym celu wykonano pracę równą , a ładunek nie uzyskał żadnej dodatkowej energii kinetycznej. Oblicz napięcie między punktami położenia początkowego i końcowego ładunku.

Odp.:

2. Dwa ładunki o tej samej wartości , są od siebie odległe o długość . Energia potencjalna tych ładunków jest równa . Oblicz

Odp.:

3. Oblicz potencjał pola elektrostatycznego pochodzącego od dwóch ładunków różnoimiennych o tej samej wartości oddalonych od siebie na odległość , w połowie tej odległości.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkami znajdziesz płatne (60 zł każde) dwugodzinne nagrania z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-termodynamika-elektrostatyka

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-elektrostatyka