Prędkość równoległa do linii pola magnetycznego

Gdy naładowana cząstka porusza się w polu magnetycznym działa na nią siła Lorentza. Gdy prędkość cząstki jest skierowana równolegle do linii pola magnetycznego, to kąt  pomiędzy wektorami  oraz  wynosi  lub . Funkcja sinus dla takich kątów przyjmuje wartość zero – oznacza to zatem, że w takich przypadkach siła Lorentza w ogóle nie działa na cząstkę, a ta dalej porusza się ruchem jednostajnym. Sytuację tę przedstawiono na Rys. 1.

Rys. 1.

Prędkość prostopadła do linii pola magnetycznego

Innym szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy prędkość ciała jest skierowana prostopadle do linii pola (kąt  pomiędzy wektorami prędkości cząstki i indukcji magnetycznej wynosi wówczas ). W tej sytuacji siła Lorentza osiąga maksymalną wartość () i działa prostopadle zarówno do wektora prędkości cząstki, jak i do linii pola magnetycznego. Siła działająca pod kątem 90 do toru ruchu ciała nie wpływa na wartość jego prędkości, a jedynie na zmianę kierunku tej prędkości. Ponieważ siła Lorentza zmienia swój kierunek wraz ze zmianą kierunku wektora prędkości i w każdym momencie ruchu jest do niego prostopadła, to pełni ona rolę siły dośrodkowej, a cząstka porusza się po okręgu. Przypadek ten przedstawiono na Rys. 2.

Rys. 2.

Aby zaznaczać wektory przestrzenne na jednej płaszczyźnie stosujemy dwa oznaczenia - okrąg z krzyżykiem (wektor  w lewej części Rys. 3.),  gdy wektor jest zwrócony za płaszczyznę rysunku i okrąg z kropką (wektor  w prawej części Rys. 3.), gdy wektor jest zwrócony przed płaszczyznę rysunku (w stronę patrzącego).

Rys. 3.

Ponieważ w opisywanej sytuacji siła Lorentza spełnia rolę siły dośrodkowej w ruchu po okręgu, to można zapisać (wartość siły Lorentza to , ponieważ ):

Gdzie  to promień okręgu, po którym porusza się cząstka,  to wartość jej prędkości,  to jej masa,  to wartość (bezwzględna) jej ładunku, a  to wartość wektora indukcji magnetycznej.

Z powyższego równania możemy wyznaczyć np. promień:

Stosując ponadto wzory znane nam z ruchu po okręgu: , , a stąd wyliczając , możemy obliczyć okres  w rozpatrywanym ruchu cząstki po okręgu:

Zauważmy, że okres, a co za tym idzie również częstotliwość, obiegu w ruchu po okręgu naładowanej cząstki w polu magnetycznym nie zależy od jej prędkości.

Fakt poruszania się naładowanej cząstki w polu magnetycznym po okręgu wykorzystywany jest w laboratoriach, np. w celu identyfikacji cząstek, z którymi mamy do czynienia. Ponieważ ładunek cząstki ma wpływ na zwrot siły Lorentza, to cząstki obdarzone ładunkiem dodatnim będą poruszały się po torach zakrzywionych w inną stronę niż w przypadku cząstek o ładunku ujemnym. Z kolei pomiar promienia okręgu, po którym porusza się dana cząstka pozwala na wyznaczenie stosunku jej ładunku elektrycznego i jej masy.

Dowolny kierunek początkowej prędkości cząstki

Naładowana cząstka może wpaść do pola magnetycznego pod dowolnym kątem do jego linii, nie tylko 0, 90 czy 180. Aby analizować w takiej sytuacji, rozkładamy go na dwie składowe: jedną w kierunku równoległym do linii pola, drugą w kierunku prostopadłym do linii pola. Ponieważ siła Lorentza zawsze jest prostopadła zarówno do prędkości cząstki, jak i do linii pola, to w kierunku równoległym nie działa na cząstkę żadna siła. To oznacza, że cząstka porusza się w kierunku równoległym do linii pola ruchem jednostajnym. W płaszczyźnie prostopadłej do linii pola działa natomiast na cząstkę siła Lorentza zakrzywiająca jej tor ruchu, co sprawia, że w tej płaszczyźnie cząstka porusza się po okręgu. Po złożeniu takich dwóch ruchów otrzymujemy ruch cząstki po tzw. linii śrubowej (nazywanej również helisą). Oś linii śrubowej jest w takiej sytuacji równoległa do linii pola magnetycznego. Linię śrubową przedstawiono na Rys. 4.

Rys. 4.

Z polem magnetycznym Ziemi związane jest także powstawanie zorzy polarnej. Naładowane cząstki, które docierają do Ziemi ze Słońca (głównie protony) poruszają się po liniach śrubowych i pod wpływem siły Lorentza kierowane są w stronę ziemskich biegunów magnetycznych. Tam wybijają elektrony z cząsteczek znajdujących się w wyższych warstwach jonosfery, a te oddają uzyskaną energię poprzez emisję światła, które obserwujemy jako zorzę polarną.

Ruch naładowanych cząstek po okręgach w polach magnetycznych jest szeroko wykorzystywany w nauce we wszelkiego rodzaju akceleratorach cząstek. Jeden z typów akceleratora – cyklotron – składa się od z dwóch duantów podłączonych do zewnętrznego napięcia zmiennego. Uzyskane w ten sposób zmienne pole elektryczne pozwala na przyspieszanie naładowanych cząstek. Całość znajduje się ponadto w polu magnetycznym, które z kolei służy do zakrzywiania torów ruchu rozpędzanych cząstek, tak aby zataczały one okręgi wewnątrz duantów. Schematycznie cyklotron przedstawiono na Rys. 5.

Rys. 5.

Przykład:

Cząstka alfa (jądro , czyli połączone ze sobą dwa neutrony i dwa protony), wpada z prędkością o wartości  w jednorodne pole magnetyczne o indukcji . Kąt pomiędzy wektorem prędkości, a liniami pola magnetycznego wynosi początkowo 70. Oblicz promień i skok linii śrubowej jej toru ruchu (skok to odległość jaką przebędzie cząstka wzdłuż linii pola po wykonaniu jednego pełnego obiegu okręgu).

Rozwiązanie:

Cząstka alfa wpada do pola magnetycznego pod pewnym kątem (nie prostym) do linii jego pola, toteż musimy rozważyć jej ruch w dwóch kierunkach. Rozkładając jej prędkość początkową  na składowe otrzymamy składową równoległą do linii pola  oraz składową prostopadłą do linii pola  (patrz rysunek poniżej):

,

Siła Lorentza nie wpływa na ruch w kierunku równoległym do linii pola magnetycznego, ponieważ kąt między składową prędkości  , a  wynosi 0, więc cząstka porusza się w tym kierunku bez zmiany wektora prędkości ruchem jednostajnym. Można zapisać, że droga przebyta w tym kierunku to:

W kierunku prostopadłym do linii pola działająca siła Lorentza ma maksymalną wartość i wpływa na zakrzywienie toru ruchu. Wartość siły Lorentza działającej na cząstkę wynosi:

Korzystając z wyznaczonych wcześniej wzorów na okres i promień zatoczonego okręgu, otrzymujemy:

Oraz:

Cząstka będzie poruszała się po linii śrubowej, którą przedstawiono na rysunku poniżej.

Promień śruby będzie taki jak wyznaczony powyżej promień okręgu zataczanego w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola magnetycznego:

Skok śruby to odległość jaką przebędzie cząstka w czasie okresu  – została ona oznaczona na powyższym rysunku jako :

Zadania do zrobienia:

1. Wyznacz tory ruchów cząstek wpadających w pole magnetyczne, w obu poniższych przypadkach.

Odp.: W obu przypadkach jest to fragment okręgu zakrzywionego w dół.

2. Cząstka alfa i elektron o tych samych energiach kinetycznych wpadają w to samo jednorodne pole magnetyczne prostopadle do wektora indukcji magnetycznej . Oblicz stosunek zatoczonych przez nich promieni.

Odp.:

3. Elektron został rozpędzony w próżni przez różnicę potencjałów  i następnie wpadł w obszar pola magnetycznego prostopadle do linii tego pola zataczając okrąg o promieniu . Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego .

Odp.:

4. Cząstka alfa wpada w obszar jednorodnego pola magnetycznego o indukcji z prędkością  pod kątem  do wektora indukcji magnetycznej . Oblicz promień i skok śruby, po której będzie się poruszać cząstka alfa.

Odp.:  , skok:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-elektromagnetyzm-1