Powstawanie napięcia przemiennego

Rozważmy sytuację, w której ramka z przewodnika obraca się ze stałą prędkością kątową w jednorodnym polu magnetycznym. W każdym kolejnym położeniu ramki przechodzi przez nią różna liczba linii pola magnetycznego. Oznacza to, że strumień indukcji magnetycznej pola przechodzącego przez ramkę ciągle się zmienia, więc w ramce będzie indukowało się napięcie (siła elektromotoryczna) oraz płynął będzie prąd indukcyjny.

Taka ramka to najprostszy przykład prądnicy prądu przemiennego, czyli urządzenia zamieniającego energię mechaniczną na elektryczną.

Zgodnie z regułą Lenza działające na ramkę siły elektrodynamiczne, które pojawiają się wskutek wystąpienia zjawiska indukcji elektromagnetycznej, powodują hamowanie ramki, toteż ciągle należy dostarczać do niej energii, aby utrzymać jej ruch obrotowy.

Zależność napięcia od czasu

Zależność siły elektromotorycznej SEM (oznaczonej poniżej jako ) indukującej się w ramce, która obraca się ze stałą prędkością kątową od czasu  opisujemy funkcją sinus:

Gdzie:

 – maksymalna wartość napięcia (amplituda),

 – okres zmian napięcia,

 – faza początkowa, która odpowiada za początkową wartość napięcia.

Wykres tej zależności w przypadku gdy faza początkowa jest zerowa przedstawiono na Rys. 1.

Rys. 1.

Wyprowadzenie wzoru opisującego zależność indukowanego napięcia od czasu

Rozważmy sytuację, w której ramka obraca się ze stałą prędkością kątową w jednorodnym polu magnetycznym. W pewnym momencie w czasie jej wektor powierzchni  ułożony jest pod kątem  do wektora indukcji magnetycznej  – sytuację tę zawarto na Rys. 2. Ramka widziana jest na nim z boku, a oś jej obrotu jest prostopadła do płaszczyzny rysunku. Kierunek wektora  jest taki sam jak kierunek składowej wektora indukcji . Zakładamy, że faza początkowa, która w tej sytuacji jest jednocześnie początkową wartością kąta , jest zerowa.

Rys. 2.

Strumień pola przechodzącego przez ramkę obliczymy wyznaczymy z jego definicji jako:

gdzie  – pole powierzchni ograniczonej ramką.

Ponieważ prędkość kątowa ramki  jest stała, to możemy zapisać następująca zależność kąta  od czasu :

Obliczmy zmianę strumienia magnetycznego pomiędzy chwilą , a następującą zaraz po niej chwilą :

Wykorzystajmy teraz wzór na różnicę cosinusów:

Stąd:

I przekształcając dalej:

Z założenia . Wynika stąd, że drugi składnik sumy  jest znacznie mniejszy od pierwszego, więc można go pominąć. Co więcej, ponieważ  jest małe, to możemy przyjąć z dobrym przybliżeniem, że . Toteż:

Następnie wykorzystując prawo Faradaya możemy obliczyć indukowaną w ramce siłę elektromotoryczną :

Gdybyśmy przyjęli ogólniejszy przypadek, w którym faza początkowa  jest dowolna, to ów wzór przyjąłby następującą postać:

A zatem siła elektromotoryczna, równa napięciu na końcach rozciętej ramki (), zależy od czasu zgodnie ze wzorem:

Gdzie maksymalną wartość napięcia to:

Siła elektromotoryczna prądnicy

Prądnica składa się z  połączonych szeregowo wirujących ramek, toteż siła elektromotoryczna generowana na jej końcach jest odpowiednio proporcjonalnie większa:

Siła elektromotoryczna jest maksymalna, gdy , toteż jej maksymalna wartość wynosi:

Napięcie skuteczne

Jeśli podłączymy opornik do źródła napięcia przemiennego o maksymalnej wartości , to średnia moc prądu płynącego przez opornik będzie taka sama jak w przypadku, w którym zostałby on podłączony do źródła napięcia stałego o wartości  – którą nazywamy napięciem skutecznym. Napięcie skuteczne można również sformułować w następujący sposób: jest to napięcie takiego prądu stałego, który w czasie jednego okresu wykona taką samą pracę jak rozpatrywany prąd zmienny.

Można udowodnić, że jeśli prąd jest sinusoidalnie zmienny, to między maksymalną wartością napięcia a napięciem skutecznym zachodzi następująca zależność:

Napięcie obecne w polskich sieciach domowych jest napięciem przemiennym o wartości skutecznej równej , co oznacza, że maksymalna wartość napięcia jest równa około . Częstotliwość zmian napięcie przemiennego w polskich domach wynosi .

Aby wykazać powyższą zależność między napięciem skutecznym i maksymalnym dla prądu sinusoidalnie zmiennego, zapiszmy wzór wyrażający zależność mocy takiego prądu od czasu:

Wykres zależności mocy od czasu przedstawiono na Rys. 3.

Rys. 3.

Aby obliczyć średnią moc prądu, należy obliczyć całkowitą pracę wykonaną przez prąd w czasie jednego okresu, która jest równa polu pod wykresem. Możemy to stosunkowo łatwo zrobić (bez formalnego liczenia całki oznaczonej) poprzez narysowanie poziomej linii na wysokości . Wówczas częścią pola wykresu ponad tą linią wypełniamy część pola pod linią (zakreskowane obszary na Rys. 3.) i otrzymujemy prostokąt. Pole tego prostokąta, a zarazem praca prądu w czasie jednego okresu wynosi:

Z definicji napięcia skutecznego wynika, że taką samą pracę w czasie jednego okresu wykona prąd stały o napięciu , czyli:

Przyrównując do siebie obie te prace otrzymujemy:

Natężenie skuteczne

W obwodzie prądu przemiennego wraz z czasem zmienia się napięcie, a więc także i natężenie tego prądu. Wartość natężenia skutecznego dla prądu sinusoidalnie zmiennego wyraża się analogicznym wzorem:

Należy pamiętać, że w przypadku okresowo zmieniającego się prądu zmiennego, dla którego napięcie oraz natężenie nie charakteryzują się sinusoidalną zależnością od czasu, powyższe wzory na napięcie i natężenie skuteczne nie są prawdziwe. W takich sytuacjach, aby wyliczyć ich wartości, należy korzystać wprost z ich definicji (praca wykonana w czasie jednego okresu przez prąd zmienny jest równa pracy wykonanej w czasie jednego okresu przez odpowiedni prąd stałym o napięciu lub natężeniu równym wartości skutecznej).

Przykład:

Dana jest prądnica o polu powierzchni  obracająca się 50 razy na sekundę w polu magnetycznym o indukcji . Oblicz liczbę ramek, z których musi składać się ta prądnica, aby mogła ona zasilać żarówkę dostosowaną do napięcia stałego . Pomiń opór wewnętrzny prądnicy.

Rozwiązanie:

Podane w treści zadania napięcie  jest napięciem skutecznym prądu przemiennego koniecznym do zasilania żarówki. Maksymalna wartość napięcia prądu przemiennego powinna zatem wynosić:

Pomijamy opór wewnętrzny prądnicy, więc możemy przyjąć, że siła elektromotoryczna indukcji jest równa napięciu wytwarzanemu przez prądnicę.

Stąd otrzymujemy niezbędną liczbę ramek:

Ponadto wykorzystujemy zależność częstości kołowej  i częstotliwości:

,      gdzie

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

Zadania do zrobienia:

1. Dana jest prądnica składająca się z  ramek o powierzchni  umieszczona w polu magnetycznym o indukcji . Maksymalna siła elektromotoryczna wytwarzana przez tę prądnicę wynosi .

1. Oblicz ile pełnych obrotów ramka wykonuje w ciągu minuty.

Odp.:

2. Oblicz częstotliwość i okres wytwarzanego przez nią prądu.

Odp.: ,

3. Oblicz wartość generowanej siły elektromotorycznej w chwili, gdy ramka jest nachylona pod kątem do linii pola.

Odp.:

4. Oblicz wartość napięcia skutecznego.

Odp.:

5. Oblicz maksymalne natężenie prądu płynącego przez opornik oporze , który zasilany jest tą prądnicą.

Odp.:

2. Oblicz natężenie skuteczne okresowego () prądu zmiennego, dla którego wykres zależności natężenia od czasu przedstawiono na rysunku poniżej.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-elektromagnetyzm-3