Indukcja wzajemna i transformator

Zjawisko indukcji wzajemnej zachodzi, kiedy zmieniamy strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez dany obwód, co powoduje indukowanie się w nim siły elektromotorycznej, wskutek zmiany pola magnetycznego wytwarzanego przez inny obwód (np. zwojnicę lub elektromagnes).

Załóżmy, że mamy do dyspozycji dwie zwojnice. Jedną z nich podłączamy do prądu, przez co wytwarza ona pole magnetyczne, natomiast w drugiej zachodzi zjawisko indukcji elektromagnetycznej – gdy zmienia się prąd płynący przez pierwszą zwojnicę, zmienia się również wytwarzane przez nią pole magnetyczne.

Gdybyśmy zastosowali wspólny rdzeń magnetyczny dla obu zwojnic, to cały strumień pola wytwarzanego przez pierwszą zwojnicę biegnie wówczas również przez drugą zwojnicę, co pozwala na indukowanie większej siły elektromotorycznej (linie pola magnetycznego wytworzonego przez pierwszą zwojnicę nie „rozchodzą” się na zewnątrz).

Dwie cewki umieszczone na wspólnym rdzeniu magnetycznym tworzą transformator – zwojnica podłączona do źródła napięcia nazywana jest uzwojeniem pierwotnym, a druga zwojnica uzwojeniem wtórnym.

Transformator jest zatem urządzeniem zamieniającym energię elektryczną na energię pola magnetycznego, a tę z powrotem na energię elektryczną. Transformator służy zatem do przenoszenia energii elektrycznej prądu przemiennego z jednego obwodu do drugiego. Ponadto, najczęściej przeniesieniu temu towarzyszy również zmiana napięcia – napięcie uzyskiwane w uzwojeniu wtórnym może być różne od tego w uzwojeniu pierwotnym. Prosty schemat transformatora przedstawiono na Rys. 1.

Rys. 1.

Jeśli w uzwojeniu wtórnym znajduje się inna liczba zwojów niż w uzwojeniu pierwotnym, to napięcie indukująca się w uzwojeniu wtórnym jest inne niż napięcie na uzwojeniu pierwotnym. Zależność tę opisuje równanie transformatora:

Gdzie:

 – napięcie na uzwojeniu wtórnym,

 – napięcie na uzwojeniu pierwotnym,

 – liczba zwojów uzwojenia wtórnego,

 – liczba zwojów uzwojenia pierwotnego.

Powyższe równanie możemy stosunkowo łatwo uzasadnić. Mianowicie, ponieważ samo uzwojenie pierwotne znajduje się w zmiennym polu magnetycznym, to w przypadku gdy uzwojenie wtórne nie stanowi zamkniętego obwodu (nie płynie przez nie żaden prąd), napięcie, do którego podłączamy transformator, jest jednocześnie co do wartości równe napięciu , które indukuje się w uzwojeniu pierwotnym (równoważy ono napięcie zasilające transformator). Korzystając z prawa Faradaya, zapisujemy:

Przez użycie magnetycznego rdzenia łączącego uzwojenia pierwotne i wtórne, taka sama zmiana strumienia magnetycznego  zachodzi w zwojnicy uzwojenia wtórnego. Dlatego indukowane napięcie  wynosi:

Porównujemy oba wzory i otrzymujemy równanie transformatora:

Transformator a natężenie prądu

Jeśli pominiemy straty energii pomiędzy uzwojeniem pierwotnym i wtórnym, to oznacza to, że moc wejściowa prądu na uzwojeniu pierwotnym będzie równa mocy prądu na uzwojeniu wtórnym. Ponieważ moc prądu  możemy zapisać jako iloczyn jego napięcia i natężenia, czyli , to oznacza to, że taki iloczyn będzie miał taką samą wartość w przypadku obu uzwojeń, zatem:

Gdzie  i  to natężenia prądów płynących kolejno w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym. Po kolejnym przekształceniu otrzymujemy:

Natężenia i napięcia na uzwojeniach transformatora są do siebie zatem odwrotnie proporcjonalne. Wzór jest prawdziwy przy założeniu, że moc w uzwojeniach pierwotnym i wtórnym jest jednakowa. Transformator ma wówczas sprawność , natomiast w rzeczywistości jest ona oczywiście nieco niższa. Wynika to głównie z oporu uzwojeń, a także np. strat wynikających z emisji fali dźwiękowej przez transformator.

Przesyłanie energii elektrycznej

Napięcie wytwarzane przez prądnice w elektrowni jest rzędu 20 kV, jednak energia przesyłana jest pod dużo wyższym napięciem (nawet 400 kV), ponieważ wówczas przez przewody płynie prąd o mniejszym natężeniu (zgodnie z powyższym wyprowadzeniem dla transformatora, w którym zakładaliśmy stałość mocy prądu). Zgodnie z wzorem  powoduje to mniejsze straty energii.

Jeszcze większe podniesienie napięcia mogłoby skutkować wyładowaniami elektrycznymi między przewodami, co jest zjawiskiem niekorzystnym. Stąd, wartość 400 kV jest optymalna pod względem łącznych strat energii na ciepło i wyładowania.

Wiadomo, że ze wzoru  wynika, że energię elektryczną należy przesyłać pod jak najwyższym napięciem, aby zmniejszyć straty energii. Rozważmy ten problem w przypadku wzoru . Mogłoby się bowiem wydawać, że zgodnie z tą zależnością wyższe napięcie również prowadzi do dużych start energii. Jednakże, w powyższym wzorze  oznacza spadek napięcia na przewodzie – napięcie między końcami przewodu. W tej sytuacji jeden z końców znajduje się w elektrowni, a drugi u odbiorcy prądu. Spadek napięcia pomiędzy tymi punktami jest relatywnie niewielki, co prowadzi właśnie do niewielkich start mocy. A zatem to napięcie oraz napięcie między liniami wysokiego napięcia, którymi przesyłana jest energia elektryczna nie są tożsame.

Samoindukcja

Zmienne pole magnetyczne wytwarzane przez zwojnicę powoduje indukowanie się napięcia nie tylko w innych obwodach, ale również w niej samej. Takie zjawisko nazywamy samoindukcją. Aby wyznaczyć siłę elektromotoryczną samoindukcji, przypomnijmy sobie następujące fakty: wiemy, że indukcja  pola magnetycznego wytwarzanego przez zwojnicę jest proporcjonalna do natężenia płynącego przez nią prądu , a strumień indukcji magnetycznej jest proporcjonalny do indukcji . Wynika stąd zależność:

Zależność pomiędzy strumieniem magnetycznym a natężeniem prądu zapisujemy w następującej postaci:

Gdzie  – indukcyjność zwojnicy (wielkość fizyczna charakteryzująca daną zwojnicę, tak jak np. pojemność  jest wielkością charakteryzującą kondensator). Jednostką indukcyjności jest henr: .

Wykorzystując prawo Faradaya możemy obliczyć siłę elektromotoryczną samoindukcji:

Siła elektromotoryczna samoindukcji jest zatem tym większa, im szybciej zmienia się natężenie prądu płynącego przez daną cewkę.

Ze zjawiskiem samoindukcji mamy do czynienia w czasie działania każdego silnika elektrycznego. Dostarczając napięcie do uzwojenia silnika, wprawiamy je w ruch – w takim uzwojeniu następuje wówczas zjawisko samoindukcji, co sprawia, że występuje w nim siła elektromotoryczna, która zgodnie z regułą Lenza ma orientację przeciwną do napięcia zasilającego silnik, efektywnie obniżając napięcie na jego uzwojeniu. Zjawisko to jest uwzględniane przy konstrukcji urządzeń wykorzystujących silniki elektryczne. I tak, np. długotrwała praca silnika elektrycznego na wolnych obrotach (np. przy dużym obciążeniu) sprawia, że SEM samoindukcji jest niewielka, przez co efektywne napięcie, a co za tym idzie natężenie prądu płynącego przez uzwojenie silnika jest wysokie, co może ostatecznie prowadzić do przegrzania czy wręcz uszkodzenia go.

Przykład:

Dany jest pręt o długości  i średnicy , na który nawinięto blisko siebie  zwojów przewodu zajmujących całą długość pręta. Względna przenikalność magnetyczna stali, z której wykonano pręt wynosi . Przez tak powstałą zwojnicę płynie prąd o natężeniu   . Kiedy odłączymy zwojnicę od źródła napięcia, w czasie  natężenie prądu zmniejsza się jednostajnie do zera. Oblicz indukcyjność zwojnicy i siłę elektromotoryczną samoindukcji.

Rozwiązanie:

Siłę elektromotoryczną samoindukcji obliczamy ze wzoru:

Zmiana natężenia prądu w zwojnicy to:

Stąd możemy zapisać, że:

Ponieważ początkowo w zwojnicy płynie prąd o natężeniu , wytwarza ona pole magnetyczne o indukcji:

Obliczamy pole przekroju poprzecznego pręta:

Linie pola znajdują się wewnątrz zwojnicy, więc biegną równolegle do jej osi. Toteż strumień tego pola wynosi:

Współczynnik proporcjonalności między  a , czyli indukcyjność zwojnicy jest równy:

Mają indukcyjność możemy obliczyć siłę elektromotoryczną indukcji:

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz indukcyjność zwojnicy, w której podczas zmiany natężenia prądu od 10 A do 0 A w ciągu 4 sekund powstaje siła elektromotoryczna samoindukcji równa 8 V.

Odp.:

2. W pewnym transformatorze stosunek liczby zwojów uzwojenia pierwotnego do liczby zwojów uzwojenia wtórnego wynosi . Oblicz napięcie skuteczne i natężenie skuteczne prądu na jego wyjściu. Na wejściu wprowadzany jest prąd o napięciu skutecznym  i mocy .

Odp.: ,